在第二次开庭时补充证据，当事人确实可以要求质证期。以下是对此问题的详细分析：

法律依据与质证期的重要性

在诉讼过程中，质证是当事人对对方提出的证据进行质询、辩驳和确认的重要环节。根据《中华人民共和国民事诉讼法》及相关司法解释的规定，当事人有权在法庭上对对方提出的证据进行质证，以确保诉讼的公正性和证据的真实性、合法性。因此，当在第二次开庭时补充新证据时，给予当事人质证期是保障其诉讼权利的重要体现。

申请质证期的具体流程

1. 提出申请：在第二次开庭时，如果一方当事人提出了新的证据，另一方当事人有权要求法庭给予一定的质证期。这一申请通常应在对方提出新证据后立即提出，以便法庭能够合理安排后续的诉讼程序。
2. 法庭审查：法庭在收到质证期申请后，会进行审查。审查的内容主要包括新证据的相关性、合法性以及是否需要给予质证期等。如果法庭认为新证据确实需要质证，且给予质证期不会过分延迟诉讼进程，那么法庭通常会批准质证期申请。
3. 确定质证期：一旦法庭批准了质证期申请，就会确定具体的质证期。质证期的长度会根据案件的具体情况、新证据的复杂程度以及当事人的诉讼能力等因素进行综合考虑。在质证期内，当事人有权对新证据进行质询、辩驳和确认。

特殊情况下的处理

1. 紧急情况：如果案件存在紧急情况，如证据可能灭失、当事人生命健康受到威胁等，法庭可能会缩短或省略质证期，以确保诉讼的及时进行和当事人的合法权益。
2. 当事人同意：如果双方当事人都同意不给予质证期或缩短质证期，并签署了相应的协议或声明，那么法庭也可以根据当事人的意愿进行安排。但这种情况较为少见，且需要确保当事人的诉讼权利不受损害。

法律建议

1. 及时提出申请：如果在第二次开庭时对方提出了新证据，且你认为需要质证期来充分准备和应对，那么应及时向法庭提出申请。
2. 充分准备质证材料：在获得质证期后，应充分利用这段时间来准备质证材料，包括对新证据的质询问题、辩驳意见以及确认事项等。
3. 遵守法庭安排：在质证期内，应遵守法庭的安排和程序要求，按时参加质证活动并发表意见。

如有任何法律疑问或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。作为专业律师，我将根据你的具体情况提供全面、准确的法律建议。