结论概述：网吧被处罚时，员工在当事人一栏签自己的名字，是否需要承担责任，这主要取决于员工签字的具体情境、其职责范围以及网吧的违法行为性质。以下从不同角度进行分析：
员工职责与签字行为的关系：
- 如果员工在当事人一栏签字是出于履行其工作职责，比如作为网吧的代表接收处罚通知，并且该签字行为并未超出其职责范围，那么员工通常不需要个人承担法律责任。因为此时员工的行为是代表网吧进行的，法律责任应由网吧承担。
- 然而，如果员工签字的行为超出了其职责范围，或者员工明知网吧存在违法行为而故意签字掩盖，那么员工可能会因共谋或协助违法行为而承担一定的法律责任。
网吧违法行为的性质：
- 如果网吧的违法行为轻微，且员工签字行为并未对违法行为的后果产生实质性影响，那么员工承担法律责任的可能性较小。
- 如果网吧的违法行为严重，比如涉及非法经营、侵犯知识产权等，且员工签字行为在违法活动中起到了关键作用，那么员工可能会因共同违法或协助违法而面临法律责任，包括行政处罚甚至刑事责任。
签字行为的法律后果：
- 从行政处罚的角度来看，如果员工签字是代表网吧接收处罚，且网吧接受了处罚并履行了相关义务，那么员工个人通常不会因此受到行政处罚。
- 但如果员工签字行为被认定为共同违法或协助违法，那么员工可能会面临与网吧相同的行政处罚，如罚款、没收违法所得等。
- 在极端情况下，如果员工的签字行为构成犯罪，比如伪造证据、包庇犯罪等，那么员工可能会面临刑事责任，包括有期徒刑、罚金等。
法律建议：
- 对于员工而言，在签字前应明确自己的职责范围和签字行为的法律后果。如果对签字行为有疑问或不确定，应及时向网吧管理层或法律专业人士咨询。
- 对于网吧而言，应加强对员工的法律培训，确保员工了解自己的职责范围和签字行为的法律后果。同时，网吧应遵守相关法律法规，避免违法行为的发生，以减少员工因签字行为而承担法律责任的风险。
可能的后继行动：
- 如果员工因签字行为而面临法律责任，建议及时咨询专业律师，了解自己的权利和义务，并寻求法律帮助。
- 网吧也应积极配合相关部门的调查和处理工作，如实提供情况，以减轻或避免法律责任。
如有任何法律疑问或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询，我会根据你的具体情况提供详细的法律建议。