核心结论：用人单位无故辞退且未签订劳动合同的，员工可主张违法解除赔偿金及未签合同双倍工资差额，具体赔偿需结合工作年限、工资标准及举证情况综合计算。以下分情况说明：

1. 违法解除赔偿金的计算

根据《劳动合同法》第87条，用人单位违法解除劳动合同的，需按经济补偿标准的2倍支付赔偿金。经济补偿标准为：

• 工作年限：每满1年支付1个月工资；
• 6个月以上不满1年：按1年计算；
• 不满6个月：支付半个月工资。

示例：员工工作2年3个月，月工资8000元，违法解除赔偿金为：
\( 2.5 \text{个月} \times 8000 \text{元} \times 2 = 40,000 \text{元} \)。

2. 未签订劳动合同的双倍工资差额

根据《劳动合同法》第82条，用人单位自用工之日起超过1个月不满1年未签书面合同的，需支付双倍工资差额（即额外支付11个月工资）。
注意：

• 双倍工资差额的仲裁时效为1年，自用工满1年的次日起算；
• 若工作满1年仍未签合同，视为已订立无固定期限劳动合同，但双倍工资差额仅计算至满1年前一日。

示例：员工工作10个月未签合同，月工资8000元，可主张双倍工资差额为：
\( 9 \text{个月} \times 8000 \text{元} = 72,000 \text{元} \)。

3. 关键举证责任

员工需证明以下事实：

• 劳动关系存在：通过工资流水、考勤记录、工作证、同事证言等证据证明；
• 工资标准：以银行转账记录、工资条等为准；
• 违法解除事实：如辞退通知、录音、聊天记录等证明用人单位单方解除且无合法理由。

风险提示：若用人单位主张员工“自动离职”或“严重违纪”，需由用人单位举证，否则可能被认定为违法解除。

4. 特殊情形处理

• 试用期辞退：若用人单位无法证明员工不符合录用条件，仍属违法解除，需支付赔偿金；
• 口头辞退：员工应继续上班或保留用人单位拒绝提供劳动条件的证据，避免被认定为“旷工”；
• 工资现金发放：需通过其他证据（如签字领取记录、同事证言）佐证工资标准。

建议行动：

1. 收集劳动关系及工资证据；
   
2. 向用人单位发出书面《要求签订劳动合同通知书》并留存凭证；
   
3. 申请劳动仲裁，主张赔偿金及双倍工资差额。
   

如有进一步疑问或需协助计算具体赔偿金额，可直接向我咨询。