结论前置：当羁押期限届满而案件尚未办结时，公安机关必须依法变更强制措施或者释放被羁押人，以确保法律程序的合法性和被羁押人的合法权益。
一、法律依据与处理原则
根据《中华人民共和国刑事诉讼法》的相关规定，对于被羁押的犯罪嫌疑人、被告人，若不能在法定的侦查羁押、审查起诉、一审、二审期限内办结案件，应当予以释放；若需要继续查证、审理，则可以依法变更为取保候审或监视居住的强制措施。这一规定旨在防止超期羁押，保障被羁押人的合法权益。
二、具体处理措施
变更强制措施
取保候审：
- 适用情形：若犯罪嫌疑人、被告人可能判处管制、拘役或者独立适用附加刑，或可能判处有期徒刑以上刑罚但采取取保候审不致发生社会危险性，以及羁押期限届满，案件尚未办结，需要采取取保候审的，可申请取保候审。
- 执行方式：由犯罪嫌疑人、被告人及其法定代理人、近亲属或辩护人向办案机关提出申请，办案机关审查后认为符合条件的，责令提出保证人或交纳保证金，并出具取保候审决定书，由公安机关执行。取保候审最长不得超过十二个月，期间不得中断对案件的侦查、起诉和审理。
监视居住：
- 适用情形：符合逮捕条件但具有特殊情形（如患有严重疾病、生活不能自理；怀孕或正在哺乳婴儿；系生活不能自理者的唯一扶养人等），或羁押期限届满，案件尚未办结需要继续监督的情形，可决定监视居住。
- 执行方式：办案机关作出决定后，一般由公安机关执行，犯罪嫌疑人、被告人需在指定居所或住处接受监视，未经批准不得离开。
依法释放：
- 对于超过羁押期限且不符合继续羁押或变更强制措施条件的，应当依法予以释放。释放并不意味着案件终结，若后续发现新证据或有其他法定情形，仍可依法再行处理。
三、相关权利与程序保障
申请解除或变更强制措施：
- 被羁押人及其法定代理人、近亲属或辩护人有权在羁押期限届满时要求解除或变更强制措施。
- 相关申请应向负责案件的人民法院、人民检察院或公安机关提出。
检察机关审查：
- 检察机关应对继续羁押的必要性进行细致审查，确保无不当羁押。
- 若审查认为无须再行羁押，应尽快执行强制措施的变更。
申请延长办案时间（特殊情况）：
- 因案件复杂或疑难导致无法按期完成审理时，相关部门可依法向上一级机构申请延长办案时间，但这并不意味着可以无限期延长羁押期限。
- 延长申请需具备充分的法律支撑和事实依据，并严格遵守法定程序。
四、超期羁押的责任与赔偿
责任追究：
- 若羁押超过法定期限且最终被确认属于违法羁押，相关责任人应依法承担法律责任。
国家赔偿：
- 受害人因违法羁押有权获得国家赔偿。
- 赔偿申请应向作出错误羁押决定的机关提出，并遵循法定程序进行处理。
- 若对赔偿决定不服，受害人可向上一级机关申请复议，或向复议机关所在地同级人民法院赔偿委员会申请作出赔偿决定。
五、实际操作中的注意事项
- 及时沟通：被羁押人及其家属应积极与办案机关沟通，了解案件进展和羁押期限情况，及时提出变更强制措施或释放的申请。
- 保留证据：在申请变更强制措施或释放时，应提供充分的证据证明符合法定条件，如医疗证明、家庭情况证明等。
- 法律援助：若经济困难或法律知识有限，可寻求法律援助机构的帮助，获得专业的法律支持和指导。
总结与建议：当羁押期限届满而案件尚未办结时，公安机关必须依法变更强制措施或者释放被羁押人。被羁押人及其家属应积极了解案件进展和羁押期限情况，及时提出变更强制措施或释放的申请，并保留好相关证据。如有需要，可寻求法律援助机构的帮助。如果你有具体的法律问题或需要进一步的法律支持，请直接向我咨询。