刑事立案复议和申请检察监督并没有严格的先后顺序要求，但两者在适用情形和目的上有所不同，以下从多个角度为你详细分析：
一、刑事立案复议
定义与目的：
- 刑事立案复议是当事人对公安机关不予立案决定不服时，向作出决定的公安机关申请复议的一种救济途径。
- 其目的在于通过公安机关内部的监督机制，纠正可能存在的错误立案决定，保障当事人的合法权益。
适用情形：
- 当事人认为公安机关应当立案而未立案，或者认为公安机关立案后撤销案件的决定不当。
程序要求：
- 当事人应在收到不予立案通知书后七日内向作出决定的公安机关申请复议。
- 公安机关应在收到复议申请后七日内作出决定，并书面通知当事人。
二、申请检察监督
定义与目的：
- 申请检察监督是当事人认为公安机关的立案决定或不予立案决定存在错误，向人民检察院申请监督的一种救济途径。
- 其目的在于通过人民检察院的法律监督职能，纠正公安机关可能存在的违法立案或不予立案行为，维护司法公正。
适用情形：
- 当事人认为公安机关应当立案而未立案，或者公安机关立案后撤销案件的决定不当，且对公安机关的复议决定仍不服。
- 或者当事人直接认为公安机关的立案决定或不予立案决定存在错误，未经过复议程序。
程序要求：
- 当事人可以向作出决定的公安机关的同级人民检察院申请监督。
- 人民检察院应在收到申请后进行审查，并在一定期限内作出决定。
三、两者关系与选择
无先后顺序要求：
- 刑事立案复议和申请检察监督是两种独立的救济途径，当事人可以根据自身情况选择适用。
- 法律并未规定必须先进行复议才能申请检察监督，或者必须先申请检察监督才能进行复议。
选择建议：
- 如果当事人认为公安机关的决定可能存在错误，且希望尽快得到纠正，可以先尝试申请刑事立案复议。
- 如果复议结果仍不满意，或者当事人认为公安机关的决定存在严重违法情形，可以直接向人民检察院申请检察监督。
- 在某些情况下，当事人也可以同时选择两种途径进行救济，但需注意避免重复申请和浪费司法资源。
四、注意事项
时效性：
- 无论是申请刑事立案复议还是申请检察监督，都应注意时效性的要求，及时提出申请。
证据准备：
- 当事人在提出申请时，应尽可能提供充分的证据材料，以支持自己的主张。
法律程序：
- 当事人应了解并遵守相关的法律程序，确保自己的申请能够得到合法有效的处理。
总结来说，刑事立案复议和申请检察监督并没有严格的先后顺序要求，当事人可以根据自身情况选择适用。如果你在具体案件中遇到相关问题，可以直接向我咨询，我会根据你的具体情况提供详细的法律建议。