结论：房屋租赁双方已签订提前终止协议后，房东是否还能起诉，这主要取决于终止协议的具体内容、履行情况以及是否存在违约或争议事项。以下从不同角度进行分析：
终止协议合法有效且已履行：
- 如果双方签订的提前终止协议是合法有效的，且双方均已按照协议内容履行了各自的义务，如租客已搬离、房东已退还押金或剩余租金等，那么在此情况下，房东通常没有合理的理由再提起诉讼。因为协议已经明确规定了双方的权利和义务，且已得到履行，不存在争议。
终止协议存在争议或未履行：
- 如果终止协议中存在某些条款未明确、存在歧义，或者一方未按照协议内容履行义务，如租客未按时搬离、房东未按时退还押金等，那么房东或租客都有可能根据协议中的争议解决条款（如仲裁或诉讼）来维护自己的权益。在此情况下，房东起诉是有可能的，且法院或仲裁机构会根据协议内容、双方的实际履行情况以及相关法律法规来作出裁决。
终止协议外存在其他违约行为：
- 即使双方签订了提前终止协议，但如果协议之外还存在其他违约行为，如租客在租赁期间损坏了房屋设施且未赔偿、房东在租赁期间擅自提高了租金等，那么受损方（可能是房东或租客）也有权根据相关法律法规提起诉讼，要求违约方承担相应的法律责任。
法律建议：
- 对于房东而言，在签订提前终止协议前，应仔细审查协议内容，确保所有条款都明确无误，且符合自己的利益。同时，在协议签订后，应严格按照协议内容履行义务，避免给自己带来不必要的法律风险。
- 对于租客而言，同样需要仔细审查终止协议内容，并在签订前与房东就所有可能产生争议的事项进行充分沟通。在协议签订后，也应按照协议内容履行义务，如按时搬离、结清所有费用等。
- 如果双方在履行终止协议过程中产生争议，应首先尝试通过友好协商解决。如果协商无果，可以根据协议中的争议解决条款选择仲裁或诉讼等方式来维护自己的权益。
可能法律后果：
- 如果房东在终止协议合法有效且已履行的情况下提起诉讼，可能会被法院驳回起诉或判决败诉，并需要承担相应的诉讼费用。
- 如果房东在终止协议存在争议或未履行的情况下提起诉讼，且法院或仲裁机构认定房东的诉求合理，那么房东可能会获得相应的赔偿或支持。反之，如果房东的诉求不合理，则可能会被判决败诉并承担诉讼费用。
总之，房屋租赁双方已签订提前终止协议后，房东是否还能起诉取决于多种因素。如有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。