结论：行政监督不支持后，一般不能直接抗诉，但可以通过其他法律途径来维护自身权益。
详细分析：
行政监督与抗诉的关系：
- 行政监督是行政机关内部或外部对行政行为进行的监督，其目的在于确保行政行为的合法性和合理性。当行政监督不支持某项诉求时，通常意味着该诉求在行政监督层面未得到认可。
- 抗诉，在法律语境下，通常指的是对已经发生法律效力的判决、裁定提出异议，要求重新审理的行为。在行政诉讼中，抗诉一般由检察机关提出，针对的是法院的判决或裁定，而非行政机关的行政行为或行政监督决定。
行政监督不支持后的法律途径：
- 行政复议：如果认为行政机关的行政行为侵犯了其合法权益，可以在知道该行政行为之日起六十日内提出行政复议申请。行政复议机关会对行政行为的合法性和合理性进行审查，并作出复议决定。
- 行政诉讼：如果对行政复议决定不服，或者行政机关在法定期限内未作出复议决定，可以向人民法院提起行政诉讼。在行政诉讼中，法院会对行政行为的合法性进行审查，并作出判决。
- 申诉或信访：除了行政复议和行政诉讼外，还可以通过申诉或信访的方式表达诉求，寻求解决。但需要注意的是，申诉和信访并不直接改变行政行为的法律效力，而是作为监督行政机关行为的一种方式。
关于抗诉的适用情况：
- 如前所述，抗诉主要适用于对法院判决、裁定的异议。在行政监督不支持的情况下，如果已经通过行政复议或行政诉讼等途径寻求了救济，且对最终结果仍不服，且认为法院判决存在错误，那么可以向检察机关申请抗诉（但这一过程通常较为复杂，且需要满足一定的条件）。然而，这并不是直接对行政监督决定进行抗诉，而是对法院判决的抗诉。
建议：
- 在面对行政监督不支持的情况时，首先应考虑通过行政复议或行政诉讼等法律途径来维护自身权益。
- 如果对行政复议或行政诉讼的结果仍不服，且认为存在错误，可以咨询专业律师，了解是否可以通过申诉、信访或申请抗诉等方式进一步寻求救济。
- 在整个过程中，应保留好相关证据和文件，以便在需要时提供证明。
如有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询，我会根据你的具体情况提供专业的法律建议。