当您在小工厂工作却未签订劳动合同，随后被工厂辞退时，您确实有权要求一定的赔偿。以下是我为您详细梳理的维权步骤和赔偿依据：
一、明确您的法律权益
根据《中华人民共和国劳动合同法》的相关规定：
建立劳动关系即应订立书面合同：用人单位自用工之日起即与劳动者建立劳动关系，应当订立书面劳动合同。若未同时订立，也应在自用工之日起一个月内补订。
未签合同的后果：若用人单位超过一个月不满一年未与您订立书面劳动合同，它应当向您每月支付二倍的工资。若满一年仍未订立，则视为已订立无固定期限劳动合同。
违法解除合同的赔偿：如果用人单位违反法律规定解除或终止劳动合同，且您不要求继续履行或劳动合同已不能继续履行，用人单位应依照经济补偿标准的二倍向您支付赔偿金。
二、赔偿的具体计算
双倍工资：
- 计算时段：从用工之日起满一个月的次日至满一年的前一日。
- 计算方式：已发放的工资算一倍，用人单位还需额外支付一倍。
赔偿金：
- 若用人单位违法解除劳动合同，赔偿金为经济补偿标准的二倍。
- 经济补偿计算：按您在本单位工作的年限，每满一年支付一个月工资；六个月以上不满一年的，按一年计算；不满六个月的，支付半个月工资。月工资是指劳动合同解除或终止前十二个月的平均工资。
三、收集证据材料
在维权过程中，证据的收集至关重要。您应尽可能收集以下证据：
- 工作记录：如考勤表、工作日志、任务分配记录等，以证明您与用人单位存在事实劳动关系。
- 薪资证明：工资条、银行转账记录、微信或支付宝转账记录等，以证明您的工资收入情况。
- 沟通记录：与上级或同事的聊天记录、电子邮件、短信等，特别是涉及工作安排、薪资调整、辞退通知等内容。
- 其他证据：如工牌、工作服、同事证言等，以进一步证明您与用人单位的劳动关系。
四、维权途径
与用人单位协商：
- 在收集了足够的证据后，您可以尝试与用人单位进行协商，要求支付未签订劳动合同的双倍工资差额以及违法解除劳动合同的赔偿金。
- 如果双方能够达成一致意见，可以签订和解协议并履行。
申请劳动仲裁：
- 如果协商无果，您可以向当地的劳动争议仲裁委员会提起仲裁申请。
- 在申请仲裁时，需要提交仲裁申请书、证据材料以及身份证明等。
- 仲裁委员会将依法进行审理，并根据事实和法律规定作出裁决。
提起诉讼：
- 如果您对仲裁结果不满意，可以在收到仲裁裁决书之日起十五日内向人民法院提起诉讼。
- 在诉讼过程中，您需要继续提供证据支持自己的主张，并遵循法院的诉讼程序和要求。
五、注意事项
- 及时行动：劳动争议申请仲裁的时效期间为一年，从您知道或者应当知道其权利被侵害之日起计算。因此，请务必及时采取行动维护自己的权益。
- 保留证据原件：在维权过程中，务必保留好所有证据的原件，以便在需要时提供。
- 寻求专业帮助：如果您对法律程序不熟悉或感到困惑，可以寻求律师或法律援助机构的帮助。
综上所述，当您在小工厂工作未签订劳动合同却被辞退时，您有权要求用人单位支付双倍工资及相应的经济补偿或赔偿金。请务必充分了解自己的法律权益，积极收集证据，并通过合法途径维护自己的合法权益。