公司司机撞人重伤，是否构成交通肇事罪，需根据具体情况判断，不能一概而论。以下从不同角度为你详细分析：

一、构成交通肇事罪的一般情形

根据《中华人民共和国刑法》第一百三十三条的规定，违反交通运输管理法规，因而发生重大事故，致人重伤、死亡或者使公私财产遭受重大损失的，构成交通肇事罪。这里的“重大事故”通常指的是造成严重后果的事故，包括但不限于：

1. 死亡一人或者重伤三人以上，负事故全部或者主要责任的；
2. 死亡三人以上，负事故同等责任的；
3. 造成公共财产或者他人财产直接损失，负事故全部或者主要责任，无能力赔偿数额在三十万元以上的。

如果公司司机在驾驶过程中违反了交通运输管理法规，如超速、酒驾、疲劳驾驶等，且这些违法行为直接导致了重伤事故的发生，同时司机负事故的全部或主要责任，那么司机就可能构成交通肇事罪。

二、不构成交通肇事罪的例外情形

当然，也存在一些例外情况，即使司机造成了重伤事故，也可能不构成交通肇事罪。例如：

1. 司机无过错或过错较小：如果事故是由于不可抗力、意外事件或者对方当事人的过错导致的，而司机本身没有过错或过错较小，那么司机可能不构成交通肇事罪。
2. 事故责任认定存在争议：有时候，事故责任的认定可能存在争议。如果经过调查，无法确定司机在事故中的具体责任，或者司机被认定只承担次要责任，那么司机也可能不构成交通肇事罪。
3. 司机已采取合理避险措施：如果司机在事故发生前已经采取了合理的避险措施，如紧急刹车、避让等，但由于客观原因仍然无法避免事故的发生，那么司机也可能不构成交通肇事罪。

三、公司可能承担的责任

在司机构成交通肇事罪的情况下，公司作为雇主，也可能需要承担一定的责任。根据《中华人民共和国民法典》的相关规定，用人单位的工作人员因执行工作任务造成他人损害的，由用人单位承担侵权责任。因此，如果司机是在执行工作任务过程中发生的事故，公司可能需要承担民事赔偿责任。

四、建议与措施

1. 及时报警并保护现场：在事故发生后，应立即报警并保护现场，以便交警部门进行事故调查和责任认定。
2. 配合调查并如实陈述：司机和公司应积极配合交警部门的调查工作，如实陈述事故经过和原因。
3. 寻求法律帮助：如果事故涉及法律纠纷或可能构成犯罪，建议及时寻求专业律师的帮助，以便更好地维护自身权益。

总结来说，公司司机撞人重伤是否构成交通肇事罪，需根据事故的具体情况、司机的过错程度以及事故责任的认定等因素来综合判断。如果你或你所在的公司面临类似情况，建议直接向我咨询，以便获得更具体、更专业的法律建议。