刑事立案的决定部门主要是公安机关、人民检察院和人民法院，具体由哪个部门决定立案，取决于案件的性质和法律规定的管辖范围。以下是对这一问题的详细分析：
公安机关立案
- 职责与范围：公安机关作为国家的治安保卫机关，负责维护社会秩序和公共安全。大多数普通刑事案件，如盗窃、抢劫、故意伤害等涉及侵犯人身权利、财产权利的犯罪，都由公安机关立案侦查。
- 法律依据：根据《中华人民共和国刑事诉讼法》第一百一十二条，公安机关对于报案、控告、举报和自首的材料，应迅速进行审查，认为有犯罪事实需要追究刑事责任时，应当立案。
人民检察院立案
- 特定案件：人民检察院主要对贪污贿赂犯罪、渎职犯罪等职务犯罪案件进行立案侦查。此外，对于公安机关应当立案而不立案的情况，人民检察院也有权监督并要求说明不立案理由。
- 监督职能：若人民检察院认为公安机关不立案理由不成立，应通知公安机关立案。这是人民检察院对公安机关立案活动进行监督的重要体现。
- 法律依据：根据《中华人民共和国刑事诉讼法》第十九条及相关规定，人民检察院在特定情况下具有立案侦查权和监督权。
人民法院立案（自诉案件）
- 自诉案件范围：包括告诉才处理的案件（如侮辱、诽谤案）、被害人有证据证明的轻微刑事案件（如轻伤故意伤害案）以及被害人有证据证明而公安机关或人民检察院不予追究的案件。
- 立案条件：对于自诉案件，被害人可以直接向人民法院提起自诉，人民法院在审查后认为符合立案条件的，应当立案受理。
- 法律依据：根据《中华人民共和国刑事诉讼法》及相关司法解释，人民法院直接受理自诉案件的范围和立案条件有明确规定。
在刑事立案过程中，如果当事人对立案决定有异议，可以采取以下措施：
- 向原公安机关申请复议：当事人在收到《不予立案通知书》后7日内，有权向作出决定的公安机关提出复议申请。公安机关应在收到复议申请后7日内作出决定，并书面通知控告人。
- 向上一级公安机关申请复核：若对复议决定不服，控告人可在收到复议决定书后7日内向上一级公安机关申请复核。上一级公安机关应在收到复核申请后7日内作出决定。
- 向人民检察院申请立案监督：控告人可向同级人民检察院控告检察部门提交书面申请，说明公安机关不立案的具体理由和依据，以及自己的诉求。人民检察院会要求公安机关说明不立案的理由，若认为理由不成立，会通知公安机关立案。
总结与建议：
刑事立案的决定部门多样，具体取决于案件性质和法律规定。在面临刑事立案问题时，当事人应了解相关法律规定和程序要求，积极收集证据和材料，并按照法律程序进行维权。如果对立案决定有异议，可以通过申请复议、复核或向人民检察院申请立案监督等途径来维护自己的合法权益。
希望以上分析能对你有所帮助，如果你还有其他法律问题，欢迎直接向我咨询。