结论：签订装修合同后已交预付款，对方不可以不开发票，且能否终止合同需视具体情况而定。以下从发票开具和合同终止两方面详细分析：

发票开具方面

1. 法律依据：根据《中华人民共和国发票管理办法》第十九条规定，销售商品、提供服务以及从事其他经营活动的单位和个人，对外发生经营业务收取款项，收款方应当向付款方开具发票；特殊情况下，由付款方向收款方开具发票。在装修合同关系中，装修公司作为收款方，在收到你支付的预付款后，有义务向你开具发票。
2. 不开发票的后果：如果装修公司拒绝开具发票，你可以向当地税务机关举报。税务机关会责令其限期改正，并可能对其处以罚款等行政处罚。同时，发票是证明交易发生的重要凭证，没有发票可能会影响你后续的维权，比如在出现质量问题要求赔偿时，发票可以作为证明你与装修公司存在合同关系以及支付款项的证据。

合同终止方面

1. 协商一致终止：如果双方能够就终止合同达成一致意见，那么可以签订终止协议，明确双方的权利义务，包括预付款的退还方式、时间等。这种情况下，合同可以顺利终止，且双方一般不会产生过多的纠纷。
2. 法定解除情形：根据《中华人民共和国民法典》第五百六十三条规定，有下列情形之一的，当事人可以解除合同：
   • 因不可抗力致使不能实现合同目的：例如，在装修过程中，发生了地震、洪水等不可抗力事件，导致房屋严重受损，无法继续进行装修，此时你可以解除合同。
   • 在履行期限届满前，当事人一方明确表示或者以自己的行为表明不履行主要债务：如果装修公司明确表示不再为你进行装修，或者通过其行为（如停工、撤走施工人员等）表明不再履行合同义务，你可以解除合同。
   • 当事人一方迟延履行主要债务，经催告后在合理期限内仍未履行：如果装修公司没有按照合同约定的时间进行施工，经你催告后，在合理期限内仍然没有开始施工或者继续施工，你可以解除合同。
   • 当事人一方迟延履行债务或者有其他违约行为致使不能实现合同目的：例如，装修公司使用的装修材料不符合合同约定的质量标准，且拒绝更换，导致装修无法达到你预期的效果，你可以解除合同。
3. 违约责任承担：如果是因为一方违约导致合同终止，违约方需要承担违约责任。如果你作为守约方解除合同，可以要求装修公司退还预付款，并赔偿你因此遭受的损失，如重新寻找装修公司产生的差价、因工期延误导致的租房费用等。如果是因为你的原因导致合同终止，装修公司可能会按照合同约定扣除一定的违约金后，将剩余预付款退还给你。

如果你在装修合同履行过程中遇到上述问题，或者有其他相关的法律疑问，可以直接向我咨询。