暂予监外执行的执行时间，主要取决于罪犯所处的诉讼阶段和服刑状态，具体如下：
交付执行前：
- 在人民法院作出判决、裁定的同时，如果罪犯符合暂予监外执行的条件，人民法院可以直接决定暂予监外执行，并制作暂予监外执行决定书。此时，暂予监外执行自人民法院作出决定之日起即开始执行。法院会同时抄送人民检察院和罪犯居住地的公安机关，以便进行后续的监督和管理。
交付执行后：
- 如果罪犯在监狱服刑，监狱在发现罪犯符合暂予监外执行条件时，应当向省级以上监狱管理机关提出书面意见，经批准后执行。此时，暂予监外执行自省级以上监狱管理机关批准之日起开始执行。
- 如果罪犯在看守所服刑，看守所应当向设区的市一级以上公安机关提出书面意见，由该级公安机关进行审批。经批准后，暂予监外执行自设区的市一级以上公安机关批准之日起开始执行。
执行机关与职责：
- 无论哪种情况，暂予监外执行的执行机关都是社区矫正机构。社区矫正机构负责对暂予监外执行的罪犯进行日常管理和监督，确保其遵守相关规定，如定期报告活动情况、接受教育矫正等。
- 同时，社区矫正机构还致力于帮助罪犯重新融入社会，通过教育、矫正等方式促进其改过自新。
相关机关的配合与监督：
- 在暂予监外执行的决定和执行过程中，相关机关需要密切配合。例如，批准暂予监外执行后，相关机关会将罪犯押送至其居住地，与社区矫正机构办理交接手续，确保罪犯顺利纳入社区矫正体系。
- 人民检察院对暂予监外执行的全过程进行法律监督。如果发现决定或者批准暂予监外执行不当，人民检察院会向决定或者批准机关提出书面纠正意见，确保暂予监外执行的合法性和公正性。
举例说明：
- 假设张某因犯罪被判处有期徒刑三年，在交付执行前，张某突发严重疾病需要保外就医。人民法院在审理案件时发现这一情况，并认为张某符合暂予监外执行的条件，于是直接决定暂予监外执行。此时，张某的暂予监外执行自人民法院作出决定之日起即开始执行。
- 又如，李某在监狱服刑期间，因生活不能自理且适用暂予监外执行不致危害社会，监狱向省级以上监狱管理机关提出书面意见并获得批准。此时，李某的暂予监外执行自省级以上监狱管理机关批准之日起开始执行。
总结与建议：
- 暂予监外执行的执行时间取决于罪犯所处的诉讼阶段和服刑状态，以及相关机关的审批程序。
- 如果您或您身边的人涉及暂予监外执行的情况，建议及时咨询专业律师（即我本人，张惠全律师，专注于刑事辩护、暴力犯罪领域），以便更准确地了解相关法律规定和程序要求，确保合法权益得到保障。