结论：在劳动法律关系中，公司无需支付经济补偿金的情形主要包括劳动者主动辞职或无续订意愿、劳动者存在过错以及特定情形下的劳动合同终止三大类。以下是对这些情形的详细阐述：
一、劳动者主动辞职或无续订意愿
劳动者因个人原因主动辞职：
- 当劳动者基于自身职业规划、家庭因素等个人原因，以书面或其他合法方式向公司提出辞职申请，且公司不存在《劳动合同法》第三十八条规定的过错时（如未按照劳动合同约定提供劳动保护或者劳动条件、未及时足额支付劳动报酬等），公司无需支付经济补偿金。
- 示例：劳动者因想回家乡发展而辞职，公司无需支付经济补偿金。
劳动合同期满，劳动者不同意续订：
- 固定期限劳动合同到期，若公司提出维持或提高原劳动合同约定的条件与劳动者续订，但劳动者不同意续订的，公司无需支付经济补偿金。
劳动者开始享受基本养老保险待遇：
- 当劳动者达到法定退休年龄并开始依法享受基本养老保险待遇时，劳动合同自然终止，公司无需支付经济补偿金。
二、劳动者存在过错
试用期间不符合录用条件：
- 若劳动者在试用期间被证明不符合录用条件，公司可以解除劳动合同且无需支付经济补偿金。
- 关键点：录用条件需具体量化，考核过程应留痕备查。
严重违反公司规章制度：
- 劳动者严重违反用人单位的合法、合规且合理的规章制度时，公司有权解除劳动合同且不支付经济补偿金。
- 示例：劳动者连续旷工多日，违反公司明确规定。
严重失职或营私舞弊：
- 劳动者在工作中严重失职、玩忽职守导致公司业务受损，或通过营私舞弊行为谋取私利，给公司造成重大损害的，公司可解除劳动合同并不支付补偿金。
与其他单位建立劳动关系：
- 劳动者同时与其他用人单位建立劳动关系，严重影响本公司工作任务完成，或经公司提出后拒不改正的，公司有权解除劳动合同且不支付经济补偿金。
欺诈、胁迫或乘人之危：
- 劳动者以欺诈、胁迫手段或乘人之危，使公司在违背真实意思的情况下订立或变更劳动合同，导致合同无效的，公司可解除劳动合同且无需支付补偿金。
被依法追究刑事责任：
- 劳动者因犯罪行为被依法追究刑事责任的，如被判处刑罚或被免予起诉，公司可解除劳动合同并不支付经济补偿金。
三、特定情形下的劳动合同终止
协商一致解除劳动合同：
- 若劳动者与公司协商一致解除劳动合同，并明确表示放弃经济补偿金要求，双方达成一致意见并签订相关协议后，公司无需支付补偿金。
劳动者死亡或被宣告死亡、失踪：
- 劳动者死亡，或被人民法院宣告死亡、宣告失踪的，劳动合同自然终止，公司无需支付经济补偿金。
公益性岗位被辞退：
- 劳动者从事政府或政府有关部门为安置就业困难人员提供的公益性岗位而被辞退的，公司无需支付经济补偿金。
非全日制用工终止：
- 对于非全日制用工，双方任何一方均可随时通知对方终止用工，公司无需向劳动者支付经济补偿。
建议：公司在处理劳动纠纷时，应严格遵守相关法律法规，确保程序合法合规，避免潜在的纠纷和损失。同时，公司应尊重劳动者的合法权益，保持公正、公平和透明的处理态度。如有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。