在刑事申诉案件被终结后，其处理方式主要依据申诉的具体情况和审查结果来定。以下是对此问题的详细解答：

一、申诉理由成立，原裁判确有错误

1. 启动再审程序：

   • 若经审查发现原生效裁判在认定事实或适用法律等方面存在错误，将启动再审程序。再审是对已生效判决、裁定的重新审判，其目的在于纠正错误，确保司法公正。
   • 法律依据：根据《中华人民共和国刑事诉讼法》第二百五十四条，各级人民法院院长、最高人民法院及上级人民法院对确有错误的判决、裁定有权提审或指令下级法院再审。

2. 重新审理并作出裁判：

   • 在再审程序中，法院会全面审查案件，包括重新调查证据和听取双方意见。根据审查结果，法院可能撤销原判，作出新判，如改判无罪、减轻或加重刑罚等。
   • 法律依据：同样依据《中华人民共和国刑事诉讼法》第二百六十条，人民检察院抗诉的案件应重新审理，对于事实不清或证据不足的，可指令下级法院再审。

二、申诉理由不成立，原裁判正确

1. 驳回申诉：
   • 若经审查认为申诉理由不成立，原生效裁判认定事实清楚、适用法律正确、程序合法，则法院会驳回申诉，维持原裁判的法律效力。
   • 法律依据：根据《最高人民法院关于适用〈中华人民共和国刑事诉讼法〉的解释》第四百七十三条，详细列举了申诉不成立的情形，并规定应说服申诉人撤回申诉或驳回申诉。

三、检察院复查终结后的特殊处理方式

1. 维持原判决、裁定：

   • 若原判决、裁定认定事实和适用法律正确，量刑适当，检察院应当作出维持原判决、裁定的复查决定，并在十日内书面通知申诉人。
   • 法律依据：依据《人民检察院复查刑事申诉案件规定》第四十条第（一）项及《人民检察院刑事诉讼规则》第六百一十七条。

2. 提出抗诉或建议重新审理：

   • 若原判决、裁定认定事实没有错误，但适用法律有错误，或者量刑不当，或者部分案件事实、证据有变化且足以影响原判决、裁定，或者原案事实不清、证据不足，或者原案存在违法诉讼程序可能影响公正审判，检察院应当按照审判监督程序向人民法院提出抗诉，或者建议人民法院重新审理。
   • 法律依据：这些情形分别对应《人民检察院复查刑事申诉案件规定》第四十条的第（二）至（五）项，以及《中华人民共和国刑事诉讼法》和《人民检察院刑事诉讼规则》的相关规定。

四、申诉终结后的其他事项

1. 制作并送达通知书：

   • 无论人民法院还是人民检察院，在申诉终结后都会制作相应的通知书（如刑事申诉复查通知书），并在规定时间内通知申诉人。

2. 后续权利：

   • 继续申诉：申诉被驳回后，若申诉人有确凿证据表明原判决、裁定确有错误，仍可继续向原审法院、上级法院或人民检察院提出申诉。
   • 申请国家赔偿：若申诉人因原判决、裁定错误遭受损失，可依法申请国家赔偿。

结论

刑事申诉案件被终结后的处理方式多样，具体取决于申诉的具体情况和审查结果。司法机关在处理过程中会依法保障申诉人的合法权益，确保司法公正。无论是申诉理由成立还是不成立，都有明确的法律规定和程序可循。因此，建议您在申诉终结后，根据具体情况和法律规定，合理行使自己的权利。