案件达成执行和解后，当事人仍然有权申请再审，但这一权利的行使受到执行和解协议具体约定及法律规定的再审事由的制约。以下是对此问题的详细分析：

一、执行和解的性质与效力

执行和解是双方当事人在执行过程中，就如何履行生效法律文书确定的义务自行协商达成的协议，本质上是一种民事合同。它对原生效法律文书的内容并不产生变更或撤销的效果，而是对原生效法律文书所确定的权利义务关系进行了一种暂时的、附条件的调整。如果一方当事人不履行和解协议，另一方当事人可以选择就原生效法律文书申请恢复执行，或者就和解协议提起诉讼。

二、申请再审的条件与限制

根据《中华人民共和国民事诉讼法》的相关规定，当事人对已经发生法律效力的判决、裁定，认为有错误的，可以向上一级人民法院申请再审。然而，申请再审并非无条件，它需要满足一定的条件，如：

1. 有新的证据，足以推翻原判决、裁定；
2. 原判决、裁定认定的基本事实缺乏证据证明；
3. 原判决、裁定认定事实的主要证据是伪造的；
4. 原判决、裁定适用法律确有错误；
5. 审判组织的组成不合法或者依法应当回避的审判人员没有回避等。

在执行和解的背景下，如果当事人希望申请再审，必须确保再审申请符合上述法定条件。同时，如果当事人在执行和解协议中明确放弃了申请再审的权利，且该和解协议是在当事人自愿、合法的基础上达成的，这种放弃行为具有一定的法律效力。但法院通常会严格审查放弃权利的行为是否存在欺诈、胁迫等影响意思表示真实的情形。若存在这些可撤销的情形，当事人仍可能恢复申请再审的权利。

三、执行和解后申请再审的特殊情形

1. 和解协议被撤销或确认无效：如果执行和解协议因欺诈、胁迫等原因被撤销或被确认无效，那么原生效法律文书所确定的权利义务关系将恢复效力。此时，如果当事人认为原生效法律文书存在错误，可以依法申请再审。
2. 发现新的证据足以推翻原判决、裁定：在执行和解并履行完毕后，如果当事人发现了新的证据，这些证据足以推翻原判决、裁定的，也可以依法申请再审。但这种情况下的再审申请必须严格符合法律规定的条件和程序。

四、申请再审的程序与注意事项

1. 再审申请的时效：当事人申请再审，应当在判决、裁定发生法律效力后一定期限内提出（通常为六个月内），但存在特定情形的可自知道或应当知道之日起六个月内提出。
2. 再审申请的审查：法院会对再审申请进行审查，认为符合再审条件的，会裁定再审；认为不符合再审条件的，会裁定驳回申请。
3. 再审与执行的关系：再审程序的启动并不当然停止原判决、裁定的执行。但在某些情况下，法院可以根据当事人的申请或依职权裁定中止执行。

总结与建议：

执行和解后，当事人仍然有权申请再审，但这一权利的行使受到严格限制。在决定是否申请再审时，当事人应仔细评估自己的案件情况，确保再审申请符合法定条件。同时，考虑到再审程序的复杂性和不确定性，当事人在签订执行和解协议时应谨慎考虑，避免轻易放弃申请再审的权利。如果对具体案件情况有疑问或需要进一步的法律帮助，可以直接向我咨询。