核心结论：根据您描述的情况，即使没有签订书面劳动合同，只要存在事实劳动关系，老板辞退员工仍需依法进行补偿。具体补偿方式需分情况讨论，以下是详细分析：

1. 未签劳动合同的双倍工资差额
   根据《劳动合同法》第八十二条，用人单位自用工之日起超过一个月不满一年未与劳动者订立书面劳动合同的，应当向劳动者每月支付二倍的工资。您工作了37天（超过1个月），有权主张从第2个月起至离职日（共7天）的双倍工资差额，即额外获得7天的工资补偿。

2. 违法解除劳动关系的赔偿金
   若老板无正当理由辞退您（如无《劳动合同法》第三十九条规定的过失性情形），属于违法解除劳动关系。根据《劳动合同法》第四十七条、第八十七条，您可主张赔偿金，计算方式为：工作年限×月工资×2倍。由于您工作不满6个月，按0.5个月计算，再乘以2倍，即获得1个月工资的赔偿金。

3. 代通知金的适用性
   若老板依据《劳动合同法》第四十条（如医疗期满、不能胜任工作等）解除劳动关系，需提前30日通知或额外支付1个月工资作为代通知金。但根据您描述的情况，老板属于直接辞退，未提前通知，若不符合第四十条情形，则无需支付代通知金；若符合但未通知，可主张1个月工资的代通知金（与赔偿金不能同时主张）。

4. 其他可能主张的权益

   • 工资结算：确保老板已足额支付37天的工资。
     
   • 社保缴纳：若未缴纳社保，可要求补缴或主张相应损失。
     
   • 加班费：如有加班事实，可主张加班费。

操作建议：

1. 收集证据：保留工资条、考勤记录、工作证、同事证言等证明劳动关系及工作时间的证据。
   
2. 协商解决：与老板沟通，明确要求支付双倍工资差额、赔偿金等补偿。
   
3. 申请仲裁：若协商无果，可向当地劳动争议仲裁委员会申请仲裁，主张上述权益。
   

注意事项：

• 赔偿金与双倍工资差额可同时主张，但需以实际工作天数和工资标准为准。
  
• 若老板主张您存在过失（如严重违纪），需由老板举证，否则需承担违法解除的后果。
  

如有进一步疑问或需要具体计算补偿金额，可直接向我咨询，我会结合您的实际情况详细解答。