结论：家人去世后，亲属继续使用其信用卡并按时还款，银行是否会追责，这主要取决于亲属使用信用卡的行为是否构成冒用及是否违反信用卡使用规定。以下从不同角度进行分析：

1. 信用卡使用规定与冒用行为：

   • 信用卡是银行根据持卡人的信用状况发放的，仅供持卡人本人使用。若家人去世后，亲属未经银行同意，擅自使用其信用卡进行消费，即使按时还款，也可能构成冒用行为。
   • 根据《中华人民共和国刑法》的相关规定，冒用他人信用卡进行消费，数额较大的，可能构成信用卡诈骗罪。但在此案例中，由于亲属按时还款，未造成银行经济损失，因此可能不构成犯罪，但仍然违反了信用卡使用规定。

2. 银行追责的可能性：

   • 银行在发现信用卡被冒用后，通常会采取一系列措施，包括但不限于冻结信用卡、联系持卡人（若持卡人已去世，则联系其紧急联系人或法定继承人）、调查冒用行为等。
   • 若银行确认信用卡被冒用，且冒用行为违反了信用卡使用规定，银行有权要求冒用者承担相应的法律责任，包括但不限于赔偿银行因冒用行为产生的损失（如手续费、利息等）、停止冒用行为等。
   • 在此案例中，由于亲属按时还款，银行可能不会立即采取法律行动，但仍然会要求亲属停止使用信用卡，并可能要求亲属说明情况或提供相关证明。

3. 法律建议：

   • 立即停止使用：若家人去世后，亲属发现其信用卡仍在被使用，应立即停止使用，并联系银行说明情况。
   • 配合银行调查：亲属应积极配合银行的调查工作，提供必要的证明和资料，以证明自己并非恶意冒用信用卡。
   • 咨询专业律师：若银行提出追责或要求赔偿等要求，亲属应及时咨询专业律师，了解自己的法律权益和义务，并寻求法律帮助。

4. 特殊情况考虑：

   • 若亲属在家人去世前已获得其明确授权使用信用卡，且该授权在家人去世后仍然有效（如通过遗嘱或书面协议等方式明确），则亲属的使用行为可能不构成冒用。但在此情况下，亲属仍需遵守信用卡使用规定，并按时还款。
   • 若家人去世后，其信用卡账户存在未结清的债务或费用，亲属作为法定继承人或紧急联系人，应协助银行处理相关事宜，但并不意味着可以擅自使用信用卡。

总结与进一步思考：家人去世后，亲属应谨慎处理其信用卡等财务事宜。若需继续使用信用卡或处理相关债务，应先咨询银行或专业律师的意见，确保自己的行为合法合规。若遇到银行追责或法律纠纷等问题，应及时寻求法律帮助以维护自己的合法权益。如有任何疑问或需要进一步的法律咨询，请直接向我提问。