结论：打伤眼睛后能否协商私了，需根据伤情严重程度、双方意愿及法律规定综合判断。以下从不同角度详细分析：
一、法律层面：协商私了的合法性
轻微伤或未构成犯罪的情形
若打伤眼睛仅导致轻微伤（如皮肤擦伤、短暂视力模糊等），未达到刑事立案标准，双方可自愿协商赔偿事宜。根据《民法典》第1179条，侵权人需赔偿医疗费、护理费、交通费等合理费用。协商私了后，建议签订书面和解协议，明确赔偿金额、支付方式及责任免除条款，避免后续纠纷。
构成轻伤或重伤的情形
若伤情经鉴定达到轻伤（如眼球挫伤、视网膜出血）或重伤（如眼球破裂、失明），则可能构成《刑法》第234条规定的故意伤害罪。此时，协商私了需满足以下条件：
- 双方自愿达成和解；
- 侵权人积极赔偿并取得被害人谅解；
- 公安机关或检察机关认为情节轻微，可依法从宽处理（如不起诉或缓刑）。
注意：即使达成和解，刑事责任可能仍需承担，但赔偿情况会影响量刑。
二、实践层面：协商私了的风险与建议
风险点
- 伤情恶化：若协商后伤情加重（如感染、并发症），可能需重新计算赔偿金额，甚至引发二次纠纷。
- 证据缺失：私了后未保留医疗记录、鉴定报告等证据，后续维权难度增加。
- 刑事风险：若伤情构成犯罪，私了可能被视为“逃避处罚”，影响量刑或导致协议无效。
操作建议
- 优先鉴定伤情：立即报警并由公安机关委托鉴定机构出具伤情报告，明确责任划分。
- 签订书面协议：协议需载明双方身份、伤情描述、赔偿项目、金额及支付时间，并由双方签字确认。
- 公证或见证：可邀请第三方（如律师、居委会）见证协议签订过程，增强法律效力。
- 保留证据：保存医疗票据、鉴定报告、沟通记录等，以备不时之需。
三、特殊情形：无法协商私了的处理
若双方对赔偿金额、责任认定存在争议，或伤情涉及刑事犯罪，建议通过以下途径解决：
- 民事诉讼：向法院起诉要求侵权人赔偿医疗费、误工费、残疾赔偿金等（若构成伤残）。
- 刑事报案：向公安机关报案，由检察机关提起公诉，同时可提起刑事附带民事诉讼要求赔偿。
- 调解程序：通过人民调解委员会、法院调解或律师调解达成和解，调解协议经司法确认后具有强制执行力。
总结：打伤眼睛后能否协商私了，需以伤情鉴定为前提。轻微伤可自愿协商，但需签订书面协议；轻伤或重伤需谨慎处理，避免刑事风险。若协商困难或伤情复杂，建议及时咨询专业律师，通过法律途径维护权益。