结论：当事人一般不能直接申请调取检察机关的提请抗诉书，但在特定情况下可通过合法途径间接获取相关材料。

1. 提请抗诉书的性质与保密性
   提请抗诉书是检察机关在履行法律监督职能时制作的内部法律文书，属于司法机关工作文件范畴。根据《人民检察院刑事诉讼规则》及相关保密规定，此类文书通常不对外公开，主要供检察机关内部或法院审判使用，以确保司法程序的独立性和严肃性。因此，当事人无权直接向检察机关申请调取该文书。

2. 当事人获取相关材料的合法途径
   尽管不能直接调取，但当事人可通过以下方式间接获取提请抗诉书的核心内容：

   • 通过法院程序获取：若检察机关已向法院提出抗诉，法院会将抗诉书副本送达当事人。此时，当事人可查阅抗诉书内容（如抗诉理由、法律依据等），但需注意法院可能对部分涉及国家秘密、个人隐私或商业秘密的内容进行技术处理。
     
   • 申请检察机关公开信息：根据《政府信息公开条例》，检察机关对涉及公共利益、可能影响当事人重大权益的信息，可依申请公开。但提请抗诉书通常不属于法定公开范围，除非符合“重大公共利益”等例外情形，实践中获批概率较低。
     
   • 委托律师协助：律师作为法律专业人士，可依据《律师法》及司法解释，向检察机关申请查阅、复制案卷材料（包括提请抗诉书）。但需满足以下条件：
     
     • 律师已接受当事人委托并提交委托手续；
       
     • 案件已进入审查起诉或审判阶段；
       
     • 检察机关认为律师申请符合法律规定。
       

3. 特殊情形下的处理
   若当事人认为检察机关未依法履行职责（如应抗诉而未抗诉），可通过以下途径救济：

   • 向上一级检察机关申诉：根据《人民检察院刑事诉讼规则》第588条，当事人可向上一级检察机关申请复查，此时上级检察机关可能调取下级检察机关的提请抗诉书进行审查。
     
   • 申请法院再审：若案件已进入审判阶段，当事人可依据《刑事诉讼法》第253条，以“检察机关抗诉理由成立”为由申请再审，法院在审查时可能要求检察机关提交提请抗诉书作为证据。
     

建议：若您需要了解提请抗诉书的具体内容，可先委托律师向检察机关或法院申请查阅案卷材料。若涉及重大权益，也可通过申诉或再审程序推动司法机关主动审查相关文书。如有进一步疑问，欢迎随时向我咨询。