结论：在民事诉讼中，原被告双方在符合法定条件的情况下，确实都有权申请执行。这一权利的行使主要基于生效法律文书确定的权利义务关系，而非当事人在诉讼中的原被告身份。

详细分析

1. 执行申请的核心在于权利人身份：

   • 执行申请的关键在于谁是生效法律文书（如判决书、裁定书、调解书等）确定的权利人。如果法律文书判定原告享有权利，而被告未履行义务，原告有权申请执行；反之，如果法律文书判定被告享有权利，而原告未履行义务，被告同样有权申请执行。

2. 法律依据：

   • 根据《中华人民共和国民事诉讼法》的相关规定，发生法律效力的民事判决、裁定，当事人必须履行。一方拒绝履行的，对方当事人可以向人民法院申请执行。这一规定明确适用于原被告双方，只要满足条件，任何一方都有权申请执行。

3. 原被告申请执行的具体情形：

   • 原告申请执行：在原告获得胜诉判决，且被告未在规定期限内履行义务的情况下，原告有权向法院申请强制执行，以维护自己的合法权益。例如，甲起诉乙要求偿还借款，法院判决乙偿还，但乙未在规定期限内还款，此时甲即可向法院申请强制执行乙的财产。
   • 被告申请执行：在被告提出反诉并获得胜诉，或者双方达成调解协议等法律文书，而原告未按照生效法律文书履行义务的情况下，被告同样有权向法院申请强制执行。例如，买卖合同纠纷中，原告起诉被告支付货款，被告反诉原告交付符合质量要求的货物，法院最终判决原告履行交货义务，若原告未履行，被告可申请强制执行。

4. 申请执行的程序和措施：

   • 无论是原告还是被告申请执行，都需要向有管辖权的法院提交执行申请书，并附有相关证据材料。执行申请书应详细写明申请执行的理由、事项、执行标的以及对方所了解的被执行人的财产状况。
   • 法院在受理申请后，将依法对被执行人的财产进行查控，并根据实际情况采取相应的执行措施，如冻结银行账户、查封财产等，以强制被执行人履行义务。

法律建议

• 了解法律程序：无论是原告还是被告，在申请执行前都应充分了解相关法律程序和要求，确保自己的申请符合法律规定。
• 准备充分证据：申请执行时，应准备充分的证据材料，以证明对方未履行生效法律文书确定的义务，以及自己作为权利人的身份。
• 及时行使权利：在对方未履行义务的情况下，应及时向法院申请执行，避免超过法定期限而丧失申请执行的权利。

如果您在申请执行过程中遇到任何问题或需要进一步的法律帮助，请随时向我咨询。我将根据您的具体情况，提供详细的法律建议和指导。