当交通事故鉴定责任书出具后，如果对方不执行其应尽的责任和义务，您可以采取以下一系列措施来维护自己的合法权益：
一、沟通协商
首先，尝试与对方进行平和、理性的沟通。明确告知对方其根据交通事故鉴定责任书应承担的责任，并了解其不执行的具体原因。在沟通过程中，可以提及不执行可能带来的法律后果，如强制执行、个人信用受损等，以敦促其尽快履行义务。同时，务必保留好沟通过程中的相关证据，如聊天记录、通话录音等，以备后续使用。
二、申请调解
向交警部门申请调解：根据《中华人民共和国道路交通安全法》的相关规定，您可以请求公安机关交通管理部门进行调解。交警部门会利用其权威性和经验，促使双方认识到各自的责任，并尝试达成调解协议。
向人民调解组织申请调解：您还可以向交通事故调解中心等人民调解组织申请调解。这些组织会提供专业的调解服务，帮助双方就赔偿金额、方式等进行协商，并达成具有法律效力的调解协议。若一方不履行调解协议，另一方可向法院申请强制执行。
三、保险理赔
对方保险理赔：如果对方车辆购买了相应保险，您可以及时向对方的保险公司提供事故责任认定书等相关资料，按照保险理赔程序要求申请赔偿。保险公司会在责任限额范围内承担赔偿责任。
己方保险代位追偿：若对方拒不赔偿或无力赔偿，而您购买了车损险等相关保险，可以向自己的保险公司申请“代位求偿”。即由您的保险公司先行垫付赔偿款，然后保险公司再向对方追偿。
四、法律诉讼
如果上述方法均无法解决问题，您可以向有管辖权的人民法院提起民事诉讼。在诉讼过程中，需准备充分的证据材料，包括民事起诉状、交通事故责任认定书、相关证据（如医疗费用发票、病历、误工证明、护理证明、财产损失清单及相关发票等）以证明对方的过错和您的损失情况。法院将依据事实和法律作出判决。
五、申请强制执行
如果法院判决后对方仍不履行赔偿义务，您可以向法院申请强制执行。根据《中华人民共和国民事诉讼法》的相关规定，法院有权采取一系列强制执行措施，如查询、冻结、划拨被申请执行人的存款，扣押、拍卖、变卖被申请执行人的财产等，以确保您的赔偿权益得到实现。
六、追究刑事责任（极端情况）
在极端情况下，如果对方有能力执行法院判决而拒不执行，且情节严重，可能构成拒不执行判决、裁定罪。此时，您可以向公安机关报案，由公安机关立案侦查并依法追究对方的刑事责任。
七、其他注意事项
综上所述，面对对方不执行交通事故鉴定责任书的情况，您应及时采取措施通过合法途径维护自己的合法权益。通过沟通协商、申请调解、保险理赔、法律诉讼、申请强制执行以及追究刑事责任等多种手段的综合运用，可以有效解决这一问题。