在劳动仲裁一审中，一般不能直接要求公司因没有新证据拖延时间而赔付律师费，但具体情形需结合实际情况和法律规定来分析。以下是从不同角度对此问题的详细解答：
律师费赔付的一般原则：
- 在劳动争议案件中，律师费通常不被视为直接损失，因此一般不由败诉方承担。劳动仲裁或诉讼的主要目的是解决劳动权益争议，而非惩罚一方或补偿另一方的诉讼成本。
特定情形下的律师费赔付：
- 合同约定：如果劳动合同或相关协议中明确约定了，在发生劳动争议时，败诉方需承担对方的律师费，那么这一约定可能具有法律效力。但需要注意的是，此类约定需符合法律法规的强制性规定，且不得显失公平。
- 地方性法规或政策：在某些地区，可能有地方性法规或政策规定，在特定类型的劳动争议案件中，败诉方需承担对方的律师费。这需要根据具体地区的法律法规来判断。
- 恶意拖延或滥用诉讼权利：如果公司存在恶意拖延时间、滥用诉讼权利等行为，导致劳动者不得不花费额外的律师费来维护自己的权益，那么劳动者可以尝试在仲裁或诉讼中主张这部分费用。但这种情况下的赔付并非直接基于“没有新证据拖延时间”，而是基于公司的恶意行为。
关于拖延时间的法律后果：
- 如果公司确实存在拖延时间的行为，且这种行为违反了劳动仲裁或诉讼的程序规定，仲裁庭或法院可能会对其采取相应的制裁措施，如罚款、警告等。但这并不直接等同于赔付律师费。
- 劳动者可以积极向仲裁庭或法院反映公司的拖延行为，并要求加快审理进度。同时，劳动者也可以保留好相关证据，以备在需要时证明公司的恶意行为。
建议与策略：
- 收集证据：劳动者应尽可能收集并保留好与劳动争议相关的所有证据，包括劳动合同、工资单、工作记录、沟通记录等。这些证据将有助于证明自己的权益和公司的违法行为。
- 咨询专业律师：虽然我在这里提供了一些一般性的建议，但每个劳动争议案件都有其独特性和复杂性。因此，我建议劳动者在面临劳动争议时，及时咨询专业律师，以获取更具体、更专业的法律建议。
- 积极应对仲裁或诉讼：在劳动仲裁或诉讼过程中，劳动者应积极配合仲裁庭或法院的工作，按时提交证据、参加庭审等。同时，劳动者也可以尝试与公司进行协商和解，以降低诉讼成本和时间成本。