结论：在第一继承人未尽赡养义务，而第二继承人尽了主要抚养义务的情况下，第二继承人在遗产分配时确实有权获得更多份额，甚至可能获得全部遗产（在特定条件下）。具体分析如下：
一、法律原则与规定
继承权与赡养义务的关系：
- 根据《中华人民共和国民法典》第一千一百三十条，同一顺序继承人继承遗产的份额，一般应当均等。但这一原则并非绝对，法律同时规定了例外情况，即对被继承人尽了主要扶养义务或者与被继承人共同生活的继承人，在分配遗产时可以多分。
未尽赡养义务的后果：
- 同样根据该法条，有扶养能力和有扶养条件的继承人，不尽扶养义务的，分配遗产时，应当不分或者少分。这意味着，如果第一继承人有能力却故意不尽赡养义务，其在遗产分配时可能会被排除在外或只能获得较少份额。
二、第二继承人尽了主要抚养义务的情况
多分遗产的依据：
- 如果第二继承人确实对被继承人尽了主要抚养义务，如长期照顾被继承人日常生活、支付大量医疗费用等，那么在分配遗产时，第二继承人有权要求多分。这是法律对履行家庭责任和义务者的保护与鼓励。
证据的提供：
- 为了证明第二继承人尽了主要抚养义务，需要提供充分的证据，如医疗记录、照顾被继承人的照片或视频、证人证言等。这些证据将有助于法院或相关机构在分配遗产时作出公正裁决。
三、具体法律后果与操作
遗产分配方式：
- 继承人之间可以自愿协商达成遗产分割协议，按协议分割遗产。如果协商不成，可以由人民调解委员会进行调解，或者向人民法院提起诉讼，由法院依法审理并作出公正裁决。
法院裁决的考虑因素：
- 在裁决遗产分配时，法院会综合考虑多种因素，包括继承人的经济状况、对被继承人生前的扶助程度、被继承人生前是否有明确的遗愿或遗嘱，以及各继承人之间的协商结果等。如果第二继承人尽了主要抚养义务，且证据充分，法院很可能会支持其多分遗产的请求。
特殊情况下的处理：
- 如果第一继承人未尽赡养义务，且情节严重（如虐待、遗弃被继承人），那么根据法律规定，其可能丧失继承权。在这种情况下，第二继承人作为尽了主要抚养义务的继承人，有可能获得全部遗产。
四、建议与注意事项
保留证据：
- 对于尽了主要抚养义务的继承人来说，保留相关证据至关重要。这些证据将在遗产分配时发挥关键作用，有助于维护自身合法权益。
协商与调解：
- 在处理遗产分配问题时，建议继承人之间首先尝试协商或调解。这有助于维护家庭和谐与亲情关系，避免不必要的法律纠纷。
法律程序：
- 如果协商或调解无法达成一致意见，那么及时寻求法律程序解决是必要的。通过法院的公正裁决，可以确保遗产分配的公平、合理。
总结：在第一继承人未尽赡养义务，而第二继承人尽了主要抚养义务的情况下，第二继承人在遗产分配时确实有权获得更多份额。为了维护自身合法权益，建议第二继承人保留相关证据，并尝试通过协商或调解解决问题。如果无法达成一致意见，那么及时寻求法律程序解决是必要的。如有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。