结论：被继承人无继承人时，非继承人如果尽到了赡养义务，通常有权分得适当的遗产。这一结论主要基于《中华人民共和国民法典》的相关规定，并会因是否存在遗嘱或遗赠扶养协议而有所不同。
详细分析：
存在遗嘱或遗赠扶养协议的情形：
- 如果被继承人生前订立了遗嘱，明确将遗产赠与尽赡养义务的非继承人，或者与尽赡养义务者签订了遗赠扶养协议，那么尽赡养义务者可以依据遗嘱或遗赠扶养协议的内容继承遗产。这体现了法律对被继承人财产处分权的尊重，也鼓励了社会成员之间的互助和赡养行为。
不存在遗嘱或遗赠扶养协议的情形：
- 根据《中华人民共和国民法典》第一千一百三十一条的规定，对于继承人以外的依靠被继承人扶养的人，或者继承人以外的对被继承人扶养较多的人，可以分给适当的遗产。这意味着，即使非继承人不是法定继承人，只要他们尽到了赡养义务，就有权要求分得遗产。
- 在实际操作中，法院会综合考虑尽赡养义务的程度（如付出的劳动、提供的经济支持等）、被继承人的遗产状况等因素，来确定应分得的遗产份额。如果尽赡养义务者对被继承人的生活支持越大、持续时间越长，分得遗产的可能性就越大。
特殊情况：
- 若被继承人没有法定继承人，且遗产无人继承又无人受遗赠，则遗产一般归国家所有，用于公益事业；若死者生前是集体所有制组织成员的，则归所在集体所有制组织所有。但在这种情况下，尽了赡养义务的非继承人仍然可以向取得遗产的国家或集体组织请求分给适当遗产。
法律建议：
- 对于尽了赡养义务的非继承人，如果希望分得遗产，建议首先收集证据证明自己确实尽了赡养义务，如提供经济支持的凭证、照顾被继承人的日常记录等。
- 然后，可以根据具体情况选择通过协商或诉讼的方式来主张自己的权益。在诉讼过程中，应积极配合法院的调查，如实陈述事实，并提供相关证据以支持自己的主张。
举例说明：
假设有一位老人，没有法定继承人，但在生前得到了邻居的长期照顾和赡养。老人去世后，邻居作为非继承人，如果能够提供充分的证据证明自己尽了赡养义务，那么就有权向法院提出请求，要求分得适当的遗产。法院在审理时，会综合考虑邻居的赡养行为、老人的遗产状况等因素，来确定邻居应分得的遗产份额。
综上所述，被继承人无继承人时，非继承人如果尽到了赡养义务，通常有权分得适当的遗产。这一规定体现了法律对尽到赡养义务者的回报与认可，也鼓励了社会成员之间的互助和赡养行为。如果你有进一步的法律问题或需要更具体的法律指导，可以直接向我咨询。