结论前置：公司在开除员工时，必须严格遵循法律规定的条件和程序，确保解雇行为的合法性和合理性。根据劳动者是否存在过错、是否因客观情况需辞退或经济性裁员等不同情形，公司可依法解除劳动合同。若违反法律规定，公司可能面临支付经济赔偿金等法律责任。以下是详细解析：
一、劳动者存在过错的情况
试用期间不符合录用条件
- 条件：劳动者在试用期间被证明不符合录用条件。
- 适用说明：公司需在招聘时明确录用条件，并在员工入职时告知。如员工在试用期结束时未满足这些条件，公司可解除劳动合同。但需保留相关证据，如招聘广告、面试记录、试用期考核标准及结果等，以证明员工确实不符合录用条件。
严重违反规章制度
- 条件：劳动者严重违反公司的合法规章制度。
- 适用说明：公司的规章制度必须合法、合理且经过公示。员工如连续旷工、泄露商业机密等严重违纪行为，公司可依此解除劳动合同。公司需提供员工知晓规章制度的证据及违纪事实证明，如签字确认的规章制度手册、考勤记录等。
严重失职或营私舞弊
- 条件：劳动者因严重失职或营私舞弊给公司造成重大损害。
- 适用说明：公司需明确“重大损害”的标准，并提供损失的相关证据，如财务报表、客户流失证明等。若员工行为符合此条件，公司可解除劳动合同。
兼职影响工作
- 条件：劳动者同时与其他单位建立劳动关系，严重影响本职工作或拒不改正。
- 适用说明：公司需提供员工兼职及对本公司工作影响的证据，如兼职合同、工作表现记录等。若员工行为符合此条件，公司可解除劳动合同。
劳动合同无效
- 条件：因劳动者欺诈、胁迫手段使公司违背真实意思订立或变更劳动合同。
- 适用说明：公司需提供员工欺诈行为的证据，如虚假证书的鉴定报告等。若劳动合同因此无效，公司可解除劳动关系。
被追究刑事责任
- 条件：劳动者被依法追究刑事责任。
- 适用说明：公司需提供法院的生效判决等相关法律文书作为依据。若员工被依法追究刑事责任，公司可解除劳动合同。
二、非因劳动者过错的情况
患病或非因工负伤
- 条件：劳动者患病或非因工负伤，医疗期满后不能从事原工作或新安排的工作。
- 适用说明：公司需提供医疗期证明、员工不能胜任工作的相关证明，并提前三十日以书面形式通知或额外支付一个月工资后，可解除劳动合同。
不能胜任工作
- 条件：劳动者不能胜任工作，经培训或调整岗位后仍不能胜任。
- 适用说明：公司需明确“不能胜任工作”的标准，提供绩效考核记录、培训记录等证据，并提前三十日以书面形式通知或额外支付一个月工资后，可解除劳动合同。
客观情况变化
- 条件：劳动合同订立时的客观情况发生重大变化，导致合同无法履行，且双方未能就变更内容达成协议。
- 适用说明：公司需提供客观情况变化的证明及与员工协商的记录，并提前三十日以书面形式通知或额外支付一个月工资后，可解除劳动合同。
三、经济性裁员
- 条件：公司依照企业破产法规定进行重整或生产经营发生严重困难。
- 适用说明：公司需提前三十日向工会或全体员工说明情况并听取意见，经向劳动部门报告后实施经济性裁员。
四、开除员工的程序要求
- 程序要求：公司开除员工前必须具备充足的事实依据，并遵循合法程序。包括明确且合理的规章制度、充分的过错证据、通知工会（如有）并研究其意见、向员工出具解除劳动合同的书面通知等。
五、经济补偿与赔偿
合法开除无需赔偿
- 说明：若公司依据合法事由开除员工，无需支付经济补偿或赔偿金，但应支付员工应得的工资。
违法开除需赔偿
- 说明：若公司违法开除员工，员工可要求继续履行合同；若不要求继续履行或合同已无法履行，公司应按经济补偿标准的二倍支付赔偿金。赔偿金计算按员工在本单位工作年限，每满一年支付一个月工资；六个月以上不满一年的，按一年计算；不满六个月的，支付半个月工资的经济补偿。
总结与建议：公司在开除员工时，必须谨慎行事，确保有充足的事实依据和符合法律规定的程序步骤。若您作为公司方或员工方，在面临解雇或被解雇的情况时，建议及时咨询专业律师，以维护自身合法权益。如有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请随时向我咨询。