结论：在交通事故中，全责方并没有法律强制规定必须垫付医药费，但特定情形下保险公司或道路交通事故社会救助基金有垫付责任。以下是对此问题的详细分析：
一、法律层面分析
全责方无法定义务：
- 根据《中华人民共和国民法典》及《机动车交通事故责任强制保险条例》的相关规定，法律并未明确规定全责方必须垫付医药费。全责方对事故负全部责任，但这并不等同于其有垫付医药费的法定义务。
保险公司的垫付责任：
- 交强险：若伤者情况紧急需要抢救，且肇事车辆参加了机动车第三者责任强制保险（交强险），则保险公司应在接到公安机关交通管理部门的书面通知并核对后，于交强险责任限额范围内垫付抢救费用。若事后发现存在驾驶人未取得驾驶资格、醉酒、被盗抢期间肇事、故意制造道路交通事故等情形，保险公司有权向致害人追偿。
- 商业险：部分商业险合同中可能包含垫付条款，若全责方投保的商业险有此规定，则在符合条件时保险公司会进行垫付。但通常情况下，商业第三者责任险是在事故责任确定后，根据保险合同约定进行赔付，不会在事故发生初期垫付医疗费。
道路交通事故社会救助基金的垫付：
- 在抢救费用超过交强险责任限额、肇事机动车未参加交强险、机动车肇事后逃逸等特定情形下，道路交通事故社会救助基金可以垫付部分或全部抢救费用，并在垫付后有权向道路交通事故责任人追偿。
二、实际操作层面分析
全责方的选择：
- 出于人道主义考虑或为了快速处理事故，全责方有时会选择主动垫付医药费。这并非法律要求，而是个人选择。若全责方选择垫付，建议保留好相关支付凭证、医疗记录等证据，以便在后续的责任认定和赔偿协商中作为有力依据。
受害方的应对措施：
- 申请救助基金：在符合道路交通事故社会救助基金垫付条件的情形下，受害方可申请该基金先行垫付部分或全部抢救费用。
- 自行支付后索赔：受害者可自行支付医药费进行治疗，并保留好所有医疗费用票据、病历等相关证据。治疗结束后，可与全责方及其保险公司协商赔偿事宜；若协商不成，可依法向法院提起民事诉讼，要求对方赔偿全部合理的医疗费用及其他相关损失。
三、追偿问题
全责方向保险公司追偿：
- 若全责方垫付了医药费，可在交通事故处理完毕后，依据相关证据向保险公司申请赔偿。
受害方向全责方追偿：
- 若保险公司拒绝赔偿或赔偿不足，受害方有权通过法律途径向全责方追偿。同时，若受害方获得了道路交通事故社会救助基金的垫付，救助基金管理机构也有权向道路交通事故责任人追偿。
四、建议与总结
- 保持冷静与理性：发生交通事故后，双方应保持冷静、理性沟通，避免情绪化行为导致矛盾升级。
- 依法依规处理：在处理医药费用垫付和赔偿问题时，应依法依规进行操作，确保各方权益得到保障。
- 及时咨询专业律师：若对法律条款或处理流程存在疑问，建议及时咨询专业律师以获取准确指导。
综上所述，交通事故中全责方并无垫付医药费的法定义务，但可通过交强险、商业险以及人道主义考量等方式进行处理。受害方也有多种途径来确保自己的医疗费用得到及时解决，并可通过协商或诉讼方式维护自身权益。如有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请随时向我咨询。