送养的小孩在特定情况下确实是有权利要求法院给亲生父母做亲子鉴定的，但这一权利的行使并非无条件，而是需要基于一定的法律事实和程序。以下是对此问题的详细解答：
一、法律基础与原则
首先，我们要明确的是，亲子鉴定在法律上是一种通过科学手段来确定亲子关系的方法。在涉及亲子关系的法律纠纷中，如收养、继承、抚养等，亲子鉴定往往被作为重要的证据来使用。然而，亲子鉴定的进行并非随意，而是需要遵循一定的法律原则和程序。
二、送养小孩要求亲子鉴定的条件
存在合理的怀疑或争议：送养的小孩或其法定代理人（如养父母）需要有合理的理由怀疑或认为与生父母之间的亲子关系存在争议或不明确。这种怀疑或争议可能源于多种情况，如生父母否认亲子关系、收养过程中存在欺诈或隐瞒等。
法律程序的启动：要求进行亲子鉴定通常需要通过法律程序来启动。这可能包括向法院提起诉讼，请求确认或否认亲子关系，并在诉讼过程中提出亲子鉴定的申请。
法院的审查与决定：法院在收到亲子鉴定的申请后，会对申请进行审查。审查的内容包括申请的理由是否充分、是否存在进行亲子鉴定的必要性等。如果法院认为申请合理且有必要，会裁定进行亲子鉴定。
三、实际操作中的考虑因素
保护未成年人权益：在进行亲子鉴定时，法院会特别关注未成年人的权益保护。如果亲子鉴定可能对未成年人的身心健康造成不良影响，法院可能会谨慎考虑是否进行鉴定。
证据的充分性与必要性：除了亲子鉴定外，法院还会考虑其他证据的充分性与必要性。如果其他证据已经足够证明或否认亲子关系，法院可能不会仅凭亲子鉴定的申请就裁定进行鉴定。
当事人的意愿与配合：亲子鉴定的进行需要当事人的配合。如果生父母拒绝进行亲子鉴定，法院可能会根据其他证据和法律规定来作出判断。
四、具体案例与法律适用
以您提供的案例为例，如果送养的小孩（如张某一）在成年后对与生父母之间的亲子关系存在疑问或争议，并且这种疑问或争议无法通过其他方式得到解决，那么她有权向法院提起诉讼，请求确认或否认亲子关系，并在诉讼过程中提出亲子鉴定的申请。法院在审查后，如果认为申请合理且有必要，会裁定进行亲子鉴定。
五、结论与建议
综上所述，送养的小孩在特定情况下确实有权要求法院给亲生父母做亲子鉴定。然而，这一权利的行使需要遵循一定的法律原则和程序，并且需要考虑到未成年人的权益保护、证据的充分性与必要性以及当事人的意愿与配合等因素。如果您或您身边的人遇到类似情况，建议咨询专业律师以获取更具体的法律建议和帮助。