行政拘留5天被公司开除是否合法，并没有一个绝对的答案，而是取决于多个因素的综合考量。以下是从不同角度对此问题的详细分析：
法律层面的直接规定：
- 根据《劳动合同法》第三十九条，劳动者被依法追究刑事责任的，用人单位可以解除劳动合同。但行政拘留并不等同于刑事处罚，它属于治安管理处罚的范畴。因此，从法律条文的直接规定来看，公司并没有法定的必须开除被行政拘留员工的理由。
公司规章制度的关键作用：
- 有明确规定的情况：如果公司的规章制度中明确规定，员工被行政拘留属于严重违反公司规章制度的行为，且该规章制度的制定程序合法（如经过民主程序制定并已向员工公示），那么公司有权依据此规定与员工解除劳动合同。
- 无明确规定的情况：若公司的规章制度中没有将行政拘留列为可以解除劳动合同的情形，那么公司通常不能仅仅因为员工被行政拘留就开除员工。此时，公司需要综合考虑其他因素来做出决定。
员工行为及其对工作的影响：
- 行为性质：员工被拘留的原因对于判断其行为的严重性至关重要。如果是因为涉嫌违法犯罪等严重行为导致的行政拘留，公司可能会更倾向于开除该员工；而如果是因为轻微的、与工作无关的行为（如交通违规）导致的行政拘留，公司可能会考虑从轻处理。
- 对工作的影响：如果员工的行政拘留事由对公司的形象、声誉造成了严重的负面影响，或者影响到了工作的正常开展，公司也可能会考虑解除劳动合同。例如，员工的行为被媒体曝光，给企业形象带来了极大的损害。
员工的平时表现和工作贡献：
- 在决定是否开除被行政拘留的员工时，公司还会考虑员工的平时表现和工作贡献。如果员工一直表现良好，工作也很出色，那么公司可能会倾向于给予从轻处理或保留其工作岗位。
实际操作中的建议：
- 对于员工而言，如果面临行政拘留的情况，应尽快与公司沟通，说明情况，并表达自己改正错误的决心和态度。同时，也可以咨询专业律师，了解自己的权益和可能的法律后果。
- 对于公司而言，在处理此类情况时，应遵循法律法规的规定，确保决策的合法性和合理性。如果决定开除员工，应确保有充分的理由和依据，并遵循公司内部的解除劳动合同程序。
总结与建议：行政拘留5天被公司开除是否合法，取决于公司的规章制度、员工的具体行为及其对工作的影响，以及员工的平时表现和工作贡献等多个因素。因此，在遇到此类问题时，建议员工和公司都寻求专业的法律意见，以确保决策的合理性和合法性。如果你有任何具体的法律问题或需要进一步的法律帮助，请随时向我咨询。