结论：打人后喝醉逃跑是否构成“逃跑罪”需分情况讨论，一般情况下可能涉及的是“逃逸”行为在特定犯罪中的加重情节，而非单独构成“逃跑罪”。具体需结合打人行为的性质及逃逸的后果来判定。

分析如下：

1. 若打人行为构成犯罪（如故意伤害罪）：

   • 逃逸作为加重情节：在构成故意伤害罪等犯罪后逃逸，逃逸行为本身不单独定罪，但会作为原犯罪的加重情节。例如，若打人致人重伤后逃逸，可能面临更重的刑罚。根据《中华人民共和国刑法》的相关规定，故意伤害他人身体的，处三年以下有期徒刑、拘役或者管制；致人重伤的，处三年以上十年以下有期徒刑；致人死亡或者以特别残忍手段致人重伤造成严重残疾的，处十年以上有期徒刑、无期徒刑或者死刑。逃逸行为可能在此基础上加重处罚。
   • 逃逸的认定：逃逸是指行为人在发生犯罪后，为逃避法律追究而逃跑的行为。喝醉后逃跑，若主观上是为了逃避法律追究，同样构成逃逸。

2. 若打人行为不构成犯罪（如轻微伤）：

   • 逃逸不单独定罪：若打人行为仅造成轻微伤，不构成犯罪，则逃逸行为本身也不会单独构成犯罪。但逃逸可能影响行政处罚的力度，如根据《中华人民共和国治安管理处罚法》的相关规定，殴打他人的，或者故意伤害他人身体的，处五日以上十日以下拘留，并处二百元以上五百元以下罚款；情节较轻的，处五日以下拘留或者五百元以下罚款。若逃逸，可能被视为情节恶劣，从而加重处罚。
   • 民事责任：无论打人行为是否构成犯罪，逃逸者均需承担民事赔偿责任，包括医疗费、误工费等。

3. 特殊情况：交通肇事中的逃逸：

   • 若打人行为发生在交通肇事中：如酒后驾车打人后逃逸，则可能构成交通肇事罪。根据《中华人民共和国刑法》第一百三十三条的规定，交通运输肇事后逃逸或者有其他特别恶劣情节的，处三年以上七年以下有期徒刑；因逃逸致人死亡的，处七年以上有期徒刑。在此情况下，逃逸行为是交通肇事罪的加重情节。

建议：

• 立即自首：无论打人行为是否构成犯罪，逃逸都不是明智之举。建议立即向公安机关自首，如实供述自己的行为，以争取从轻或减轻处罚。
• 积极赔偿：若打人行为造成他人损害，应积极赔偿受害人的损失，以减轻自己的民事责任。
• 咨询专业律师：在处理此类案件时，建议咨询专业律师以获取更具体的法律建议。律师可以根据案件的具体情况，为你提供针对性的法律策略和辩护方案。

后续思考：

• 逃逸的后果：逃逸不仅可能加重刑事处罚，还可能影响个人的信用记录和社会评价。因此，在面对法律纠纷时，应勇敢面对，积极解决，而不是选择逃避。
• 法律意识的提高：提高法律意识，了解自己的权利和义务，是预防法律纠纷的关键。建议定期学习法律知识，增强自己的法律素养。