针对您提出的问题，即老人女儿有病，投奔亲戚并成为老人的监护人后，应享有哪些权利，以下是我根据相关法律法规为您提供的详细解答：
首先，作为老人的监护人，您依法享有代理被监护人（即老人）实施民事法律行为的权利。这意味着，在老人因年龄、健康或其他原因无法自行处理事务时，您可以代表老人进行如签订合同、管理财产等民事法律行为。
其次，您有责任保护被监护人的人身权利、财产权利以及其他合法权益。这包括但不限于确保老人的居住安全、健康照护、财产不受侵害等。在履行这一职责的过程中，您所产生的合理权利（如因照护老人而产生的必要费用请求权）是受法律保护的。
具体来说，作为监护人，您可能享有的权利包括但不限于：
管理老人财产：在老人无法自行管理财产的情况下，您可以依法管理老人的财产，确保其安全并合理使用。
代表老人进行法律诉讼：如果老人涉及法律纠纷，您可以代表老人进行诉讼活动，维护其合法权益。
决定老人的居住和照护方式：在老人无法自行决定的情况下，您可以根据老人的健康状况和实际需求，决定其居住环境和照护方式。
同时，作为监护人，您也承担着相应的义务和责任。如果未能履行监护职责或侵害了被监护人的合法权益，您将需要承担法律责任。这包括但不限于对老人的经济供养、生活照料和精神慰藉等义务。
此外，值得注意的是，如果因发生突发事件等紧急情况，您暂时无法履行监护职责，老人的生活处于无人照料状态时，老人住所地的居民委员会、村民委员会或者民政部门应当为老人安排必要的临时生活照料措施。
最后，我想强调的是，作为监护人，您不仅享有法律赋予的权利，更承担着对老人的深厚责任。在履行监护职责的过程中，请务必尊重老人的意愿和权益，确保其得到妥善的照护和尊重。如果您在履行监护职责过程中遇到任何困难或问题，建议及时咨询专业律师或相关机构以获取帮助和支持。