备案制教师合同到期不续约但继续工作，可能涉及以下几种法律情形及处理建议：

1. 原合同自动延续或事实劳动关系成立
   根据《劳动合同法》及相关司法解释，若合同到期后教师继续工作且单位未明确反对，双方可能形成事实劳动关系。此时原合同条款（如工资、岗位等）原则上继续有效，但单位需在1个月内与教师补签书面合同，否则可能面临支付双倍工资的风险（《劳动合同法》第82条）。
   建议：教师可主动要求单位补签合同，明确权利义务；单位若不愿续约，应依法终止劳动关系并支付经济补偿。

2. 单位未及时终止合同的法律后果
   若单位在合同到期后既未续签也未终止劳动关系，而是继续用工，可能被认定为默认续约。此时若单位后续以“合同到期”为由终止劳动关系，可能构成违法解除，需支付赔偿金（经济补偿的2倍）。
   例外：若单位能证明已明确告知教师不续约（如书面通知、邮件等），且教师仍强行留任，单位可依法终止劳动关系，但需提前30日通知或支付代通知金。

3. 教师继续工作的风险与权益保护

   • 风险：若未补签合同，教师可能面临工资拖欠、社保断缴、工伤认定困难等问题；单位也可能随时终止劳动关系且不支付补偿。
     
   • 权益保护：教师可收集证据（如考勤记录、工资流水、工作安排通知等），证明存在事实劳动关系，并据此主张未签合同的双倍工资、经济补偿或赔偿金。
     建议：教师可先与单位协商补签合同或明确终止时间；若协商无果，可向当地劳动监察部门投诉或申请劳动仲裁。

4. 备案制教师的特殊性
   备案制教师通常属于事业单位编制外人员，其劳动关系适用《劳动合同法》，但部分地区可能出台地方性规定（如备案制教师管理办法）。若地方规定对合同到期后的处理有特殊要求（如优先续聘权、考核续签等），需以地方规定为准。
   建议：教师可查询当地教育部门或人社部门发布的备案制教师管理文件，或直接向我咨询具体地区的政策差异。

总结：合同到期不续约但继续工作，核心风险在于劳动关系状态不明。双方均应主动明确权利义务，避免纠纷；若已产生争议，建议根据实际情况选择协商、投诉或仲裁途径解决。如有进一步疑问，可直接向我提供具体细节（如地区、合同条款等），我会为您详细分析。