结论：在父亲去世后，遗产原则上可以由母亲继承，两个儿子签署放弃继承的声明是可行的，但需满足一定条件并遵循法定程序。

详细分析：

1. 法定继承顺序：

   • 根据《中华人民共和国民法典》的相关规定，遗产的继承首先遵循法定继承顺序。在父亲去世且未留下有效遗嘱的情况下，其遗产将由第一顺序继承人继承，包括配偶、子女和父母。若父亲父母已去世，则遗产主要由母亲和两个儿子继承。

2. 放弃继承的声明：

   • 两个儿子作为法定继承人，有权选择放弃继承。放弃继承应当以书面形式作出，并明确表示放弃对父亲遗产的继承权。这种放弃是单方面的法律行为，一旦作出，即产生法律效力，两个儿子将不再享有对父亲遗产的继承权。

3. 母亲继承的条件：

   • 在两个儿子均签署放弃继承声明的情况下，母亲作为配偶，将成为唯一的法定继承人，有权继承父亲的全部遗产。但需注意，如果父亲还有其他第一顺序继承人（如父母，若他们仍在世），则母亲不能单独继承全部遗产，除非这些继承人也放弃继承。

4. 法定程序与公证：

   • 为了确保放弃继承声明的有效性和避免后续纠纷，建议两个儿子在签署放弃继承声明时，最好进行公证。公证可以增强声明的法律效力，使其在法律上更具说服力。同时，母亲在继承遗产时，也应按照法定程序办理相关手续，如办理遗产过户等。

5. 特殊情况考虑：

   • 如果父亲在生前留下了有效遗嘱，且遗嘱中指定了遗产的继承人或分配方式，那么遗产的继承将遵循遗嘱的规定。在这种情况下，即使两个儿子签署放弃继承声明，也可能不影响遗嘱的执行。
   • 另外，如果父亲遗产中存在涉及家庭共同财产的部分，如夫妻共同财产，那么在继承时需要先进行财产分割，确定哪些部分属于父亲的遗产，再进行继承。

建议与提醒：

• 在处理此类家庭财产纠纷时，建议家庭成员之间保持沟通，尽量通过协商达成一致意见，以避免不必要的法律纠纷。
• 如果对继承程序或放弃继承声明的法律效力存在疑问，建议咨询专业律师或相关法律机构，以确保自身权益得到保障。

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