结论前置：
- 寻衅滋事行政拘留的次数，并不直接决定是否构成刑事犯罪。行政拘留是行政处罚，而刑事犯罪的判定需要依据刑法的规定，考虑行为的性质、情节、社会危害程度等多个因素。
- 多次寻衅滋事（包括已受行政处罚的）可能构成寻衅滋事罪，但这里的“多次”一般指的是二年内实施寻衅滋事行为三次以上，且需达到“情节恶劣”或“情节严重”的程度。
详细解释：
一、行政拘留与刑事处罚的区别
行政拘留是公安机关对违反行政管理秩序的公民所实施的一种惩罚措施，它属于行政处罚的范畴。而刑事处罚则是由法院根据刑法的规定，对犯罪行为进行的判决，涉及刑事责任。因此，行政拘留的次数并不直接决定是否构成刑事犯罪。
二、“多次寻衅滋事”的认定
根据《最高人民法院、最高人民检察院关于办理寻衅滋事刑事案件适用法律若干问题的解释》，纠集他人三次以上实施寻衅滋事犯罪，且未经处理的，应依法处罚。这里的“多次”一般理解为二年内实施寻衅滋事行为三次以上，且需达到“情节恶劣”或“情节严重”的程度。值得注意的是，这里的“未经处理”包括公安机关因各种原因未受理或受理后未作实质性处理等情形，但已受行政处罚的并不直接排除在刑事定罪之外，如果多次行为综合起来造成了严重的社会影响或危害后果，仍有可能被追究刑事责任。
三、寻衅滋事罪的具体情形
除了多次寻衅滋事外，以下情形也可能被认定为寻衅滋事罪：
随意殴打他人，情节恶劣的：
- 造成一人以上轻伤或二人以上轻微伤；
- 引起他人精神失常、自杀等严重后果；
- 持凶器随意殴打他人；
- 针对特殊群体（如精神病人、残疾人、老年人、孕妇、未成年人等）进行殴打，造成恶劣社会影响；
- 在公共场所随意殴打他人，导致公共场所秩序严重混乱；
- 其他情节恶劣的情况。
追逐、拦截、辱骂、恐吓他人，情节恶劣的：
- 多次实施此类行为，造成恶劣社会影响；
- 持凶器进行追逐、拦截、辱骂、恐吓；
- 针对特殊群体进行此类行为，造成恶劣社会影响；
- 引起他人精神失常、自杀等严重后果；
- 严重影响他人的工作、生活、生产、经营；
- 其他情节恶劣的情况。
强拿硬要或者任意损毁、占用公私财物，情节严重的：
- 涉及财物价值达到一定数额；
- 多次实施此类行为，造成恶劣社会影响；
- 针对特殊群体的财物进行强拿硬要或任意损毁、占用，造成恶劣社会影响；
- 引起他人精神失常、自杀等严重后果；
- 严重影响他人的工作、生活、生产、经营；
- 其他情节严重的情况。
四、法律建议
- 增强法律意识：了解并遵守法律法规，避免实施寻衅滋事等违法行为。
- 及时咨询：如果个人或身边人涉嫌寻衅滋事行为，或者对寻衅滋事行为的法律后果有疑问，可以直接向我咨询，以便更好地了解相关法律规定和可能面临的法律后果。
- 收集证据：在处理此类案件时，应注重收集证据，详细记录每次事件的具体情况，包括时间、地点、参与人员、行为细节等，以便为可能的法律程序提供有力支持。
综上所述，寻衅滋事行政拘留的次数并不直接决定是否构成刑事犯罪，而是需要根据具体情况进行综合判断。如果行为确实严重破坏了社会秩序或造成了严重后果，即使已受行政处罚，仍有可能被依法追究刑事责任。