结论：私人之间的小工程没有合同，从法律角度而言，并非绝对不能开工，但存在较大的法律风险和不确定性，不建议这样做。以下从不同角度进行详细分析：
一、法律层面分析
合同的重要性：
- 合同是双方设立、变更、终止民事关系的协议，具有法律约束力。在建设工程领域，合同是明确双方权利义务、保障工程顺利进行、解决纠纷的重要依据。
- 没有合同，双方的权利义务将缺乏明确的约定，一旦发生纠纷，将难以确定责任归属和赔偿标准。
口头合同的效力：
- 根据《中华人民共和国民法典》的相关规定，当事人订立合同，可以采用书面形式、口头形式或者其他形式。因此，口头合同在法律上也是有效的。
- 然而，口头合同存在难以证明、易产生争议等缺点。在建设工程领域，由于工程复杂、周期长、涉及金额大，口头合同往往难以满足实际需求。
无合同开工的法律风险：
- 如果双方没有签订书面合同，且无法证明口头合同的存在和内容，一旦发生纠纷，将难以维护自己的合法权益。
- 例如，如果工程出现质量问题、工期延误或者付款纠纷等，没有合同作为依据，双方将难以协商解决，甚至可能诉诸法律途径，但胜诉的难度会大大增加。
二、实际操作层面分析
工程管理的困难：
- 没有合同，工程的管理将变得困难。双方可能无法就工程进度、质量标准、付款方式等关键问题达成一致，导致工程无法顺利进行。
- 此外，没有合同还可能导致双方在工程变更、索赔等方面产生争议，影响工程的整体效益。
信任基础的脆弱性：
- 私人之间的小工程往往基于双方的信任关系而开展。然而，信任是脆弱的，一旦受到挑战或破坏，将难以恢复。
- 没有合同作为约束，双方可能更容易因为各种原因而产生矛盾和纠纷，甚至导致合作关系的破裂。
三、建议与措施
签订书面合同：
- 为了保障双方的合法权益，避免不必要的纠纷和风险，建议在开工前签订书面合同。合同应明确双方的权利义务、工程范围、质量标准、工期要求、付款方式等关键条款。
寻求专业法律帮助：
- 如果双方对合同条款的制定存在疑问或不确定，可以寻求专业律师的帮助。律师可以根据双方的具体情况和需求，制定合法、合理、有效的合同条款。
保留相关证据：
- 如果确实无法签订书面合同，双方应尽可能保留与工程相关的证据，如聊天记录、邮件往来、付款凭证等。这些证据在发生纠纷时可能起到关键作用。
总结与启示：私人之间的小工程没有合同并非绝对不能开工，但存在较大的法律风险和不确定性。为了保障双方的合法权益和工程的顺利进行，建议签订书面合同并寻求专业法律帮助。如果遇到任何法律问题或需要进一步的法律咨询，请直接向我提问。