结论：父亲留下的4万遗产给母亲，是否需要公证取决于具体情况。以下从多个角度进行分析：

1. 遗产分配方式：

   • 遗嘱继承：如果父亲生前立有合法有效的遗嘱，明确指定这4万遗产由母亲继承，那么在这种情况下，通常不需要进行公证。遗嘱本身即具有法律效力，母亲可以依据遗嘱直接继承遗产。但需注意，遗嘱的形式和内容需符合法律规定，如自书遗嘱需由遗嘱人亲笔书写、签名并注明年、月、日；代书遗嘱需有两个以上见证人在场见证等。
   • 法定继承：如果父亲没有留下遗嘱，或者遗嘱无效，那么这4万遗产将按照法定继承的方式分配。在法定继承中，母亲作为第一顺序继承人，有权继承父亲的遗产。但在此情况下，如果其他第一顺序继承人（如子女、父母）对遗产分配有异议，或者为了确保遗产分配的顺利进行，进行公证可能是一个更好的选择。公证可以明确各继承人的权利和义务，减少纠纷的发生。

2. 公证的作用：

   • 证明效力：公证是一种具有法律效力的证明活动，可以证明遗产分配的真实性、合法性和有效性。经过公证的遗产分配协议或遗嘱，在法律上具有更强的证明力，更容易被法院采纳和执行。
   • 预防纠纷：通过公证，可以明确各继承人的权利和义务，避免因为遗产分配问题而产生的家庭纠纷。公证机构在办理公证时，会对遗产分配协议或遗嘱进行严格的审查，确保其符合法律规定和公序良俗。

3. 实际操作建议：

   • 如果遗嘱明确且无争议：如果父亲留下的遗嘱明确指定母亲继承这4万遗产，且其他继承人无异议，那么母亲可以直接依据遗嘱继承遗产，无需进行公证。
   • 如果遗嘱不明确或有争议：如果遗嘱存在不明确之处，或者其他继承人对遗产分配有异议，那么建议母亲和其他继承人一起前往公证机构办理遗产分配公证。公证机构会根据法律规定和实际情况，出具具有法律效力的公证文书，明确各继承人的权利和义务。
   • 如果无遗嘱：在无遗嘱的情况下，如果母亲和其他第一顺序继承人能够就遗产分配达成一致意见，也可以共同前往公证机构办理遗产分配公证。如果无法达成一致意见，则可能需要通过诉讼等方式解决遗产分配问题。

后续行动建议：母亲可以根据实际情况选择是否进行公证。如果决定进行公证，建议提前咨询当地的公证机构，了解具体的公证流程和所需材料。如果有任何疑问或需要进一步的法律帮助，可以直接向我咨询。