结论：在父亲去世、母亲还在的情况下，遗产是否需要公证并不是必须的，这主要取决于遗产的具体情况以及继承人的意愿。以下是对此问题的详细分析：
一、遗产公证的作用与必要性
遗产公证是公证机构根据当事人的申请，依照法定程序对遗产的真实性、合法性予以证明的活动。它主要的作用在于确认遗产的范围、归属以及继承人的身份，从而避免遗产继承过程中的纠纷。然而，遗产公证并非遗产继承的必经程序，只有在特定情况下，如遗产涉及房产、车辆等需要过户登记的财产，或者继承人之间对遗产分配存在争议时，公证才显得尤为重要。
二、遗产继承的具体情况
无争议继承：
- 如果父亲去世后，留下的遗产（如存款、家具、电器等）价值不高，且继承人之间对遗产分配没有争议，那么通常不需要进行公证。
- 继承人可以凭借父亲的死亡证明、亲属关系证明（如户口本、出生证明等）以及遗产的相关凭证（如存折、房产证等）直接办理遗产的继承手续。
有争议继承或涉及特定财产：
- 如果继承人之间对遗产分配存在争议，或者遗产涉及房产、车辆等需要过户登记的财产，那么建议进行遗产公证。
- 公证可以确保遗产分配的合法性和有效性，避免后续的法律纠纷。同时，对于需要过户登记的财产，公证也是办理过户手续的必要条件之一。
三、遗产公证的流程与注意事项
公证流程：
- 继承人需要向当地的公证机构提出申请，并提交相关材料（如死亡证明、亲属关系证明、遗产凭证等）。
- 公证机构会对提交的材料进行审核，并可能要求继承人进行面谈或提供其他补充材料。
- 审核通过后，公证机构会出具遗产公证书，确认遗产的范围、归属以及继承人的身份。
注意事项：
- 继承人应确保提交的材料真实、完整、有效，避免因材料不全或虚假而导致公证失败。
- 在公证过程中，继承人应积极配合公证机构的工作，如实提供相关信息和证据。
- 如果遗产涉及多个继承人，所有继承人都应共同参与公证过程，并达成一致的遗产分配方案。
四、其他建议
- 咨询专业人士：如果继承人对遗产继承或公证流程存在疑问，可以咨询当地的公证机构或律师，以获取更详细、更专业的指导。
- 保留相关证据：在遗产继承过程中，继承人应妥善保管与遗产相关的所有凭证和证据，以备不时之需。
总结：在父亲去世、母亲还在的情况下，遗产是否需要公证主要取决于遗产的具体情况以及继承人的意愿。如果遗产价值不高且继承人之间无争议，通常不需要公证；如果遗产涉及特定财产或继承人之间存在争议，则建议进行公证以确保遗产分配的合法性和有效性。如有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。