结论：没签合同只交了定金，是可以开发票的，但具体能否开具以及开具何种类型的发票，需根据交易性质、双方约定及税法规定综合判断。以下从不同角度展开分析：

1. 从合同法律关系角度
   定金属于合同履行的一种担保方式，即使未签订书面合同，只要双方就定金支付达成合意（如口头约定、转账备注“定金”等），即形成事实上的合同关系。根据《民法典》第五百八十六条，定金合同自实际交付定金时成立。因此，支付定金本身已构成独立的法律行为，商家有义务就收到的定金开具发票。

2. 从税务法规角度
   根据《发票管理办法》第十九条，销售商品、提供服务或从事其他经营活动的单位和个人，对外发生经营业务收取款项时，应向付款方开具发票。定金属于“收取款项”的范畴，无论合同是否签订，商家均需按实际收到的金额开具发票。若商家拒绝开具，可向税务机关举报（电话12366）。

3. 从发票类型角度

   • 若交易最终成交，定金可冲抵货款，此时商家应按总交易金额开具增值税发票（一般纳税人开专票，小规模纳税人可开普票），并在发票中注明“定金转货款”。
     
   • 若交易未成交且定金不退（即收受定金方违约），根据《增值税暂行条例》，商家需就定金部分缴纳增值税，并开具增值税普通发票（因定金未转化为收入，不可开专票）。
     
   • 若定金退还，商家需开具红字发票冲销原发票，避免重复计税。

4. 实务建议

   • 付款方：支付定金时务必在转账备注中写明“定金”字样，并保留转账凭证、聊天记录等证据，以证明款项性质。
     
   • 收款方：建议签订书面定金合同，明确约定发票开具时间、类型及违约责任，避免纠纷。若未签订合同，也应在收据中注明“定金”及发票开具义务。

提示：若商家以“未签合同”为由拒绝开发票，或要求额外支付费用才开具，均属违法行为。您可先与商家协商，协商不成可向当地税务机关投诉或通过法律途径解决。如有进一步疑问，欢迎随时向我咨询。