结论：这种情况能否通过保险处理不能一概而论，需要分情况来看。
- 如果当时私下处理时，双方签订了有效的书面协议且履行完毕
- 从合同角度来说，双方达成的私下处理协议是具有法律效力的民事合同。只要该协议不存在欺诈、胁迫、重大误解、显失公平等可撤销的情形，也不违反法律法规的强制性规定和公序良俗，那么双方都应当按照协议履行各自的义务。
- 在这种情况下，即使对方后来伤情严重，一般来说也不能再通过保险来处理。因为双方已经就此次交通碰撞的赔偿等问题达成了合意并履行，相当于已经对事故的后果进行了处置，保险公司的理赔通常是基于事故发生后及时报案、按照正常流程进行定损和赔偿的情况。如果此时再要求保险处理，可能会面临保险公司以“已私下处理完毕，不符合理赔条件”为由拒绝理赔的风险。
- 如果当时私下处理时，没有签订书面协议或者协议存在瑕疵
- 若没有书面协议，仅是口头约定，一旦对方反悔，在举证方面会存在一定困难，但也不能完全排除对方主张权利的可能性。如果对方伤情严重，其可能会以当时私下处理并非其真实意思表示、对伤情估计不足等理由，要求重新处理事故赔偿问题。
- 如果协议存在欺诈、胁迫等可撤销的情形，例如一方以威胁的手段迫使对方接受不合理的赔偿方案，那么受胁迫方可以在法定期限内向法院或者仲裁机构申请撤销该协议。协议被撤销后，自始无效，此时就可以按照正常的事故处理流程，通过保险来进行赔偿。不过，要证明协议存在可撤销的情形，需要提供充分的证据，如录音、录像、证人证言等。
- 另外，即使协议有效，但如果对方伤情严重是由于当时未发现的潜在伤情导致，且该潜在伤情与此次交通碰撞存在直接的因果关系，从公平和合理赔偿的角度出发，也有可能通过与保险公司协商或者法律途径，要求保险进行一定的处理。但这需要提供专业的医疗鉴定报告等证据，来证明伤情与事故的关联性以及赔偿的合理性。
建议：在这种情况下，你可以先收集当时私下处理的相关证据，如协议、聊天记录、付款凭证等，同时要求对方提供伤情严重的医疗证明等相关材料。然后与保险公司进行沟通，说明情况，看保险公司是否愿意进行理赔。如果保险公司拒绝理赔，双方又无法协商一致，你可以考虑通过法律途径解决，比如向法院提起诉讼，由法院根据具体情况判决是否可以通过保险进行赔偿以及赔偿的金额等。如果你还有其他疑问，欢迎继续向我咨询。