继母再婚时，不可以直接将自己的未成年孩子留给继父抚养，除非通过合法的送养程序并满足相关条件。以下从不同角度对此问题进行分析：
一、法律角度
送养条件：
- 根据《中华人民共和国民法典》的相关规定，生父母送养子女，应当双方共同送养，除非生父母一方不明或者查找不到的可以单方送养。这意味着，继母作为生母，如果想要送养自己的未成年孩子，原则上需要得到孩子生父的同意，除非生父不明或查找不到。
- 收养人（继父）必须满足一定的条件，如无子女或者只有一名子女，有抚养、教育和保护被收养人的能力，未患有在医学上认为不应当收养子女的疾病，无不利于被收养人健康成长的违法犯罪记录，且年满三十周岁等。
送养程序：
- 送养必须通过合法的程序进行，包括签订送养协议、办理收养登记等。未经合法程序，继母不能擅自将孩子留给继父抚养。
二、实际情况角度
经济困难或无力抚养：
- 如果继母因经济困难或无力抚养孩子，想要将孩子留给继父抚养，这并不构成合法的送养理由。除非继父愿意并符合收养条件，且双方通过合法程序办理了送养和收养手续。
继父的抚养意愿和能力：
- 继父是否有抚养孩子的意愿和能力也是关键因素。如果继父不愿意抚养或不具备抚养能力，那么继母不能强行将孩子留给他。
三、法律后果角度
违法行为：
- 如果继母在未经合法程序的情况下，擅自将孩子留给继父抚养，或者通过送养孩子获取金钱等利益，那么就可能构成违法行为，甚至可能触犯遗弃罪。
孩子权益保护：
- 孩子的权益应得到充分保护。任何未经合法程序的送养行为都可能对孩子的身心健康造成损害。因此，继母在考虑送养孩子时，必须谨慎行事，确保孩子的权益不受侵害。
建议
咨询专业律师：
- 在处理此类复杂问题时，建议继母咨询专业律师以获取更具体的法律建议。作为专注于婚姻家庭领域的律师，我可以为你提供详细的法律咨询和帮助。
考虑孩子意愿：
- 在决定送养孩子之前，应充分考虑孩子的意愿和感受。尽量与孩子进行沟通，了解他们的想法和需求，确保送养行为符合孩子的最佳利益。
遵循合法程序：
- 如果确实需要送养孩子，务必遵循合法程序进行。与孩子生父协商一致，并找到符合收养条件的收养人，共同办理送养和收养手续。
总之，继母再婚时不可以直接将自己的未成年孩子留给继父抚养，除非通过合法的送养程序并满足相关条件。在处理此类问题时，务必谨慎行事，确保孩子的权益得到充分保护。如果你有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请随时向我咨询。