因被砸伤手住院后因诊疗死亡，赔偿问题需根据具体情况分情况讨论，主要涉及医疗损害责任和原侵权责任两方面，以下是具体分析：

1. 医疗损害责任赔偿

如果诊疗过程中医疗机构或医务人员存在过错（如误诊、误治、未及时救治等），导致患者死亡，医疗机构需承担医疗损害赔偿责任。赔偿范围通常包括：

• 医疗费：已产生的医疗费用及后续治疗费用（如因诊疗过错导致的额外治疗）。
• 死亡赔偿金：按照受诉法院所在地上一年度城镇居民人均可支配收入或农村居民人均纯收入标准，按20年计算（60周岁以上每增加1岁减少1年，75周岁以上按5年计算）。
• 丧葬费：按照受诉法院所在地上一年度职工月平均工资标准，以6个月总额计算。
• 被扶养人生活费：如果死者有未成年子女或无劳动能力的父母等被扶养人，需支付被扶养人生活费（按受诉法院所在地上一年度城镇居民人均消费性支出或农村居民人均年生活消费支出标准计算）。
• 精神损害抚慰金：根据过错程度、损害后果等因素酌情确定。
• 其他费用：如交通费、住宿费、误工费等合理支出。

关键点：需通过医疗事故鉴定或司法鉴定确认医疗机构存在过错，且过错与死亡结果之间存在因果关系。

1. 原侵权责任赔偿

如果砸伤行为本身构成侵权（如因他人故意或过失导致手部受伤），原侵权人仍需对砸伤行为导致的损害承担赔偿责任。即使患者因诊疗死亡，原侵权人仍需赔偿：

• 因砸伤导致的直接损失：如前期医疗费、护理费、误工费等。
• 如果诊疗过错未完全中断因果关系（即砸伤与死亡之间仍存在部分因果关系），原侵权人可能需按比例承担部分死亡相关赔偿（如部分死亡赔偿金、被扶养人生活费等）。

关键点：需通过司法鉴定确认砸伤行为与死亡结果之间的因果关系比例。

1. 责任竞合与赔偿顺序

如果医疗损害责任和原侵权责任同时存在，可能涉及责任竞合。此时：

• 患者家属可选择向医疗机构或原侵权人主张赔偿，但不得重复获赔。
• 如果医疗机构和原侵权人均需赔偿，两者可能按过错比例分担责任（如医疗机构承担70%，原侵权人承担30%）。

建议行动步骤：

1. 封存病历：立即要求医疗机构封存全部病历资料（包括主观病历和客观病历），以备后续鉴定。
2. 报警并调查：如果砸伤行为涉及刑事或治安案件，及时报警并固定证据（如现场照片、监控录像、证人证言等）。
3. 委托鉴定：尽快委托司法鉴定机构进行医疗损害鉴定和因果关系鉴定，明确医疗机构和原侵权人的过错程度及因果关系。
4. 协商或诉讼：根据鉴定结果，与医疗机构、原侵权人协商赔偿，或直接向法院起诉主张权利。

温馨提示：医疗损害责任纠纷和侵权责任纠纷均涉及专业鉴定和法律程序，建议家属在处理过程中保持冷静，及时咨询专业律师以维护合法权益。如有进一步疑问，可直接向我咨询。