如果合伙企业的指定负责人拒绝担任该职务，可能会产生以下几种情况和后果：

1. 合伙协议有明确规定：

   • 情况说明：若合伙协议中明确规定了负责人的产生方式、职责以及拒绝担任的后果，那么应当首先遵循合伙协议的约定。
   • 法律后果：根据合伙协议的约定，拒绝担任负责人可能面临违约责任，如支付违约金、赔偿损失等。同时，合伙企业可能会根据协议规定，重新选举或指定新的负责人。

2. 合伙协议无明确规定或规定模糊：

   • 情况说明：若合伙协议中没有明确规定负责人拒绝担任的后果，或者规定较为模糊，那么需要依据相关法律法规和合伙企业的实际情况来处理。
   • 法律建议：
     • 协商解决：合伙人之间可以首先尝试通过协商来解决，看是否能够达成一致意见，比如重新指定负责人或者对原指定进行调整。
     • 依据《合伙企业法》：根据《中华人民共和国合伙企业法》的相关规定，合伙企业的事务执行可以由全体合伙人共同执行，也可以由合伙协议约定或者全体合伙人决定，委托一个或者数个合伙人对外代表合伙企业，执行合伙事务。若原指定负责人拒绝担任，且合伙协议无明确规定，合伙企业可以依据法律规定和实际情况，重新作出决定。
     • 可能面临的法律程序：如果合伙人之间无法达成一致意见，且合伙企业的事务因此受到严重影响，那么可能需要通过法律程序来解决，比如提起诉讼或仲裁，由法院或仲裁机构根据事实和法律作出裁决。

3. 对合伙企业运营的影响：

   • 情况说明：负责人的拒绝担任可能会对合伙企业的运营产生一定影响，特别是如果该负责人在合伙企业中扮演着重要角色或负责关键事务。
   • 法律建议：
     • 及时调整：合伙企业应尽快调整运营策略，确保事务的连续性和稳定性。比如，可以临时指定其他合伙人或员工来负责相关事务，或者对原有职责进行重新分配。
     • 完善合伙协议：为了避免类似情况的再次发生，合伙企业应考虑完善合伙协议，明确负责人的产生方式、职责以及拒绝担任的后果等条款，以减少未来的纠纷和不确定性。

总结与建议：合伙企业的指定负责人拒绝担任该职务时，应首先查看合伙协议的约定，并依据相关法律法规和实际情况来处理。合伙人之间应积极协商，寻求解决方案，以确保合伙企业的正常运营。同时，合伙企业也应考虑完善合伙协议，以减少未来的纠纷和不确定性。如果有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。