结论前置：欠信用卡5000元在一般情况下不太可能被银行直接起诉，但并非绝对没有可能。是否会被起诉，主要取决于您的还款态度、逾期时间以及银行的催收情况。
一、一般情况下的处理
催收手段：当您的信用卡欠款发生后，银行通常会首先通过短信、电话等方式进行催收。这是银行追回欠款的首选方式，成本较低且效率较高。在催收过程中，银行会了解您的还款意愿和还款能力，并尝试与您达成还款协议。
诉讼成本考虑：对于5000元这样相对较小的欠款金额，银行在考虑诉讼成本（包括时间、人力、物力等）后，往往不会轻易选择起诉。因此，在一般情况下，欠信用卡5000元不会被发卡行起诉。但这并不意味着您可以忽视这笔欠款，因为任何未偿还的债务都可能对您的信用记录造成负面影响。
二、可能被起诉的情况
长期拖欠：如果您经过多次催收后仍然长期拖欠不还，特别是逾期时间超过三个月，银行就拥有了起诉的权利。长期拖欠不仅会增加银行的催收成本，还会对银行的资金安全和信贷秩序造成影响。
拒绝沟通与还款：若您态度恶劣、完全拒绝沟通或毫无还款意愿和行动，银行为了维护自身权益和规范信用卡使用秩序，可能会选择起诉。在这种情况下，银行会认为您存在恶意透支的嫌疑，从而采取更严厉的法律手段。
催收无果与律师函：在银行多次催款无果，甚至联系不上您的情况下，银行可能会向您寄送律师函。律师函是银行正式通知您还款的一种方式，如果在规定期限内您仍然不还款，银行就有可能正式起诉您。
三、法律后果
民事债务纠纷：信用卡逾期被起诉属于民事债务纠纷。法院会根据情况调解或判决，要求您偿还欠款及可能产生的利息、滞纳金等费用。如果您拒不执行法院的判决，银行可以申请强制执行，包括但不限于冻结账户、查封财产等措施。
信用受损：无论是否被起诉，长期拖欠信用卡欠款都会对您的个人信用记录产生严重不良影响。信用记录是您个人信用状况的重要体现，一旦受损，将可能影响您未来的贷款、信用卡申请等金融活动。
四、建议与应对策略
积极沟通：如果您确实存在还款困难，应尽快与银行取得联系，积极沟通还款事宜。表明自己的还款意愿和计划，争取与银行达成还款协议。
协商还款方案：您可以主动与银行协商，寻求个性化的还款方案。如分期还款、延期还款等。这些方案可以减轻您的还款压力，同时避免法律纠纷和信用损失。
保持良好信用记录：您应时刻关注自己的信用记录，避免逾期还款等不良行为的发生。良好的信用记录是您未来金融活动的重要保障。
总结：欠信用卡5000元虽然不太可能被银行直接起诉，但您仍需高度重视并尽快处理欠款问题。通过与银行积极沟通和协商，制定合适的还款方案，是避免法律纠纷和信用损失的有效途径。如果您有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请随时向我咨询。