结论：欠信用卡5000元在一般情况下不太可能被银行直接起诉，但并非绝对没有可能。具体是否会被起诉，取决于多种因素，包括逾期时间、催收情况、持卡人的还款意愿等。以下是对此问题的详细分析：
一、银行起诉的一般条件与可能性
逾期时间与催收次数：
- 银行在决定是否起诉时，会考虑逾期时间和催收次数。一般来说，如果信用卡逾期超过90天，且银行至少进行了两次有效催收后，持卡人依然没有还款意愿和行动，银行起诉的可能性就会显著增加。
- 对于5000元的欠款金额，虽然相对不算特别巨大，但如果持卡人长期拖欠不还，银行为了维护自身权益和规范信用卡业务管理，仍有可能选择起诉。
成本与收益评估：
- 银行在决定是否起诉时，会综合考虑起诉成本与可能收回欠款之间的关系。若起诉所需耗费的人力、物力、时间成本较高，而追回5000元欠款及相关费用的收益相对有限，银行可能会优先选择其他更为经济有效的追讨方式，如加强催收力度、与持卡人协商制定还款计划等。
二、可能被起诉的具体情况
长期拖欠且拒绝沟通：
- 如果持卡人经过多次催收后仍然长期拖欠不还，特别是逾期时间超过三个月，且完全拒绝与银行沟通或毫无还款意愿，银行为了维护自身权益，可能会选择起诉。
催收无果与律师函：
- 在银行多次催款无果，甚至联系不上持卡人的情况下，银行可能会向持卡人寄送律师函。如果在规定期限内仍然不还款，银行就有可能正式起诉持卡人。
三、法律后果与责任
民事责任：
- 一旦被起诉且持卡人败诉，不仅需要偿还本金5000元，还需承担逾期利息、违约金以及银行起诉所产生的合理费用（如诉讼费等）。
- 法院会根据情况调解或判决，要求持卡人偿还欠款及可能产生的利息、滞纳金等费用。如果持卡人拒不执行法院的判决，银行可以申请强制执行，包括但不限于冻结账户、查封财产等措施。
刑事责任（极端情况）：
- 在极端情况下，如果持卡人以非法占有为目的，超过规定限额或者规定期限透支，并经发卡银行两次催收后超过3个月仍不归还，还可能被认定为恶意透支，涉嫌信用卡诈骗的犯罪行为。此时，银行有权依法追究其刑事责任。但这种情况较为罕见，且需要满足严格的法律条件。
四、建议与应对策略
积极沟通：
- 持卡人应尽快与银行取得联系，积极沟通还款事宜，表明自己的还款意愿和计划。通过沟通，可以争取到更多的还款时间和更灵活的还款方式。
协商还款方案：
- 如果确实存在还款困难，可以主动与银行协商，寻求个性化的还款方案，如分期还款、延期还款等。银行通常会根据持卡人的实际情况和还款意愿，提供相应的帮助和支持。
保持良好信用记录：
- 持卡人应时刻关注自己的信用记录，避免逾期还款等不良行为的发生。良好的信用记录是个人财务健康的重要标志，也是未来获得贷款、信用卡等金融服务的基础。
总结：欠信用卡5000元虽然金额不大，但仍需高度重视并及时处理。通过与银行积极沟通和协商，制定合适的还款方案，是避免法律纠纷和信用损失的有效途径。如果你有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请随时向我咨询。