结论：父母能否起诉孩子要回首付款，需分情况讨论，主要取决于房屋产权归属、孩子行为性质及首付款性质等因素。以下为具体分析：
若房屋产权登记在孩子名下，且首付款被认定为父母对孩子的赠与：
- 在这种情况下，父母将首付款给予孩子，通常会被视为一种赠与行为。一旦赠与完成，且没有法定撤销事由（如严重侵害赠与人或者赠与人近亲属的合法权益、对赠与人有扶养义务而不履行、不履行赠与合同约定的义务等），父母一般不能随意撤销赠与并要回首付款。
- 孩子作为房屋的合法所有权人，有权对房屋进行处分，包括出售。因此，父母仅以孩子出售房屋为由，要求要回首付款，法院通常不会支持。
若房屋产权登记在孩子名下，但首付款被认定为父母对孩子的借款：
- 如果父母能够提供充分证据证明首付款是借款给孩子的，比如有书面借款协议、转账备注为借款、孩子承认借款等，那么父母与孩子之间就形成了借贷关系。
- 在这种情况下，孩子出售房屋后，父母有权要求孩子偿还借款，即要回首付款。如果孩子拒绝偿还，父母可以通过起诉等法律途径来维护自己的权益。
若房屋产权登记在父母名下，孩子未经父母同意擅自出售房屋：
- 孩子并非房屋的合法所有权人，其擅自出售房屋的行为属于无权处分。父母作为房屋的所有权人，有权要求孩子返还因出售房屋所得的款项，包括首付款部分（如果首付款仍包含在售房款中）。
- 此外，父母还可以追究孩子因擅自出售房屋给自己造成的其他损失，如房屋增值部分的损失等。
若孩子出售房屋的行为构成欺诈、胁迫等违法情形：
- 如果孩子通过欺诈、胁迫等手段，迫使父母同意出售房屋或者骗取父母的首付款，那么父母有权要求撤销相关交易，并要回首付款。
- 在这种情况下，父母需要提供充分证据证明孩子存在欺诈、胁迫等违法行为，以便法院支持自己的诉求。