针对您提出的“合同到期后延迟退休签什么合同”的问题，这主要涉及到劳动合同的续签以及延迟退休背景下的合同类型选择。以下是我从不同角度为您详细分析的解答：

1. 劳动合同续签的基本原则：

   • 根据《中华人民共和国劳动合同法》的相关规定，劳动合同期满，双方协商一致，可以续签劳动合同。在延迟退休的背景下，如果员工达到法定退休年龄但选择继续工作，且用人单位也同意继续雇佣，那么双方应当续签劳动合同。

2. 延迟退休背景下的合同类型选择：

   • 继续签订劳动合同：如果员工虽然达到退休年龄，但尚未享受基本养老保险待遇，且双方同意继续工作，那么应当继续签订劳动合同。这种情况下，劳动合同的内容可以参照原合同，也可以根据双方协商进行适当调整。
   • 签订劳务合同：如果员工已经达到退休年龄并开始享受基本养老保险待遇，根据《中华人民共和国劳动合同法实施条例》的规定，此时双方的关系应视为劳务关系，而非劳动关系。因此，双方可以签订劳务合同，明确双方的权利和义务。劳务合同与劳动合同在法律性质、权利义务、争议解决方式等方面存在显著差异，需要特别注意。

3. 合同内容的具体考虑：

   • 无论是续签劳动合同还是签订劳务合同，都应当明确工作内容、工作地点、工作时间、劳动报酬、社会保险等关键条款。特别是劳动报酬和社会保险部分，应当根据员工的实际情况和双方的协商结果进行合理确定。
   • 在延迟退休的背景下，还应当考虑员工的身体状况、工作能力等因素，合理安排工作任务和工作时间，确保员工的身心健康和工作安全。

4. 法律风险提示：

   • 如果用人单位在员工达到退休年龄后未及时与其续签劳动合同或签订劳务合同，可能会面临法律风险。例如，员工可能会主张与用人单位之间存在事实劳动关系，并要求用人单位支付未签订书面劳动合同的双倍工资差额等。
   • 因此，建议用人单位在员工达到退休年龄前，就与其沟通续签或签订新合同的事宜，确保双方的权利和义务得到明确和保障。

总结与建议：

• 在合同到期后延迟退休的情况下，应根据员工的实际情况和双方的协商结果，选择续签劳动合同或签订劳务合同。
• 无论选择哪种合同类型，都应当明确合同内容，特别是关键条款如劳动报酬、社会保险等。
• 用人单位应提前与员工沟通续签或签订新合同的事宜，以避免法律风险。

如果您在劳动合同续签或延迟退休方面还有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请随时向我咨询。我会根据您的具体情况，为您提供专业、全面的法律建议。