结论：第一顺位继承人死亡后，其子女在一定条件下是可以代位继承其应继承的遗产份额的。
法律背景与解释：
代位继承的概念：
- 代位继承是继承法中的一项重要制度，它指的是在法定继承中，被继承人的子女先于被继承人死亡的，由被继承人的子女的晚辈直系血亲代位继承。这里的“晚辈直系血亲”通常指的是被继承人子女的子女，即孙子女、外孙子女等。
代位继承的条件：
- 被继承人的子女先于被继承人死亡：这是代位继承发生的前提条件。如果被继承人的子女仍然健在，那么就不存在代位继承的问题。
- 代位继承人必须是被继承人子女的晚辈直系血亲：这意味着只有被继承人子女的子女（孙子女、外孙子女等）才有资格代位继承，而被继承人子女的配偶、兄弟姐妹等则无权代位继承。
- 代位继承人一般只能继承被代位继承人有权继承的遗产份额：即代位继承人不能继承超过被代位继承人应继承的遗产份额。
代位继承的实例说明：
- 假设有一位老人A，其有一子B和一女C。B先于A死亡，留下一个孙子D。当A去世时，如果A没有留下遗嘱，那么按照法定继承的顺序，B作为A的第一顺位继承人本应继承一部分遗产。但由于B已经先于A死亡，因此B的份额将由其子女D代位继承。
特殊情况下的代位继承：
- 如果被继承人的子女在继承开始后、遗产分割前死亡，且该子女未放弃继承权的，那么其应继承的遗产份额将转由其合法继承人继承，这通常被称为转继承，而非代位继承。但在此问题的语境下，我们主要讨论的是代位继承的情况。
法律建议：
- 如果您或您的家人遇到类似情况，建议首先查阅相关的法律法规，了解代位继承的具体条件和程序。
- 在处理遗产继承问题时，务必保持谨慎和理性，避免因为情绪激动或缺乏法律知识而做出错误的决策。
- 如果对遗产继承问题存在疑问或争议，建议及时咨询专业律师，以便得到更具体、更专业的法律建议和帮助。
可能的法律后果：
- 如果符合代位继承的条件，那么被继承人子女的晚辈直系血亲将有权继承其应继承的遗产份额。
- 如果不符合代位继承的条件，或者存在其他继承争议，那么可能需要通过法律途径来解决，如提起诉讼等。这可能会带来一定的时间、精力和金钱成本。
希望以上解答能够帮助您更好地理解代位继承的相关问题。如果您还有其他疑问或需要进一步的法律帮助，请随时向我咨询。