若雇用吊车司机过程中其发生交通事故，责任承担需分情况讨论，具体如下：

1. 司机与雇主是雇佣关系
   根据《民法典》第1192条，个人之间形成劳务关系，提供劳务一方（司机）因劳务造成他人损害的，由接受劳务一方（雇主）承担侵权责任。若司机因执行工作任务（如运输货物、吊装作业等）发生事故致他人损害，通常由雇主对外承担赔偿责任。但若司机存在故意或重大过失（如酒驾、无证驾驶、严重违反操作规程等），雇主承担责任后可向司机追偿。

2. 司机与雇主是承揽关系
   若司机以个人名义承揽吊装任务（如独立承包某工程吊装作业），双方约定“完成工作成果”而非“提供劳务”，则司机在作业过程中因自身过错导致事故的，一般由司机自行承担责任。但若雇主对定作、指示或选任有过失（如要求司机超载作业、选任无资质司机等），需承担相应赔偿责任。

3. 司机自身受伤的赔偿问题
   若司机在事故中受伤，需区分是否为工伤：

   • 若司机受雇于个人或未缴纳工伤保险的单位：根据《民法典》第1192条，司机因劳务受伤的，由雇主根据过错比例赔偿（如雇主未提供安全设备导致事故，需承担主要责任）。
     
   • 若司机受雇于公司且缴纳工伤保险：司机可申请工伤认定，由工伤保险基金支付医疗费、伤残补助等费用；若公司未缴纳工伤保险，则由公司承担全部工伤赔偿责任。

行动建议：

1. 立即固定证据：保存事故认定书、现场照片、医疗记录、雇佣合同（如有）等材料，明确事故责任划分及司机与雇主的关系。
   
2. 区分责任主体：若为雇佣关系，优先由雇主对外赔偿；若司机存在重大过失，可后续追偿；若为承揽关系，需评估雇主是否存在选任过失。
   
3. 协商或诉讼：根据责任划分与对方协商赔偿；若协商不成，可向法院起诉，主张医疗费、误工费、伤残赔偿金等损失。
   

提示：吊车作业属于特种作业，司机需持《特种设备作业人员证》上岗，雇主有义务核实资质并提供安全作业条件。若因资质问题导致事故，雇主可能承担更高比例责任。如有具体细节需进一步分析，可直接向我咨询。