结论：在父母离异且孩子被判给母亲的情况下，孩子是否具有签字权，主要取决于孩子的年龄和民事行为能力，以及具体签字事项的性质。

详细分析：

1. 孩子的年龄和民事行为能力：

   • 根据《中华人民共和国民法典》的相关规定，民事行为能力是指民事主体能以自己的行为取得民事权利、承担民事义务的资格。孩子的民事行为能力与其年龄和智力状况密切相关。
   • 如果孩子是未成年人（通常指不满18周岁），则其民事行为能力受到限制。具体来说，8周岁以下的未成年人为无民事行为能力人，由其法定代理人代理实施民事法律行为；8周岁以上、不满18周岁的未成年人为限制民事行为能力人，可以独立实施纯获利益的民事法律行为或者与其年龄、智力相适应的民事法律行为，其他民事法律行为由其法定代理人代理或者经其法定代理人同意、追认。

2. 签字事项的性质：

   • 如果签字事项涉及孩子的重大利益，如医疗同意、财产处置等，通常需要孩子的法定代理人（如父母）的同意或追认。在这种情况下，即使孩子被判给母亲，父亲作为孩子的法定监护人之一（在未丧失监护权的情况下），也有权参与相关决策，但具体签字权可能因实际情况和法院判决而有所不同。
   • 如果签字事项是孩子日常生活中的小事，如学校活动的同意书等，且孩子已具备相应的理解和判断能力，那么孩子可能可以在母亲的指导下自行签字。

3. 父亲生病的影响：

   • 父亲生病本身并不直接影响孩子的签字权。但是，如果父亲因生病而无法履行监护职责，那么母亲的监护责任可能会相应加重。在这种情况下，母亲可能需要更多地代表孩子进行签字等民事法律行为。
   • 如果父亲生病导致其丧失民事行为能力或监护权，那么孩子的签字权将主要由母亲（或其他法定监护人）行使。

法律建议：

• 在处理涉及孩子签字权的问题时，应首先考虑孩子的年龄和民事行为能力，以及签字事项的性质。
• 如果签字事项涉及孩子的重大利益，建议父母双方共同协商并达成一致意见，必要时可以寻求法律帮助或咨询专业律师。
• 如果父亲生病导致无法履行监护职责，母亲应及时与父亲或其他相关亲属沟通，确保孩子的权益得到妥善保障。

特殊情况说明：

• 如果孩子已满18周岁，则其具有完全民事行为能力，可以独立行使签字权，无需父母或其他监护人的同意或追认。
• 如果父母双方对孩子的签字权存在争议，可以通过法律途径解决，如向法院申请确定监护权或代理权等。

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