可以补办解除劳动关系证明，但需根据具体情况采取不同方式。以下是详细说明：

1. 原单位仍存在且配合办理
   若事业单位改制后原单位主体未注销（如转为企业或保留部分职能），您可直接向原单位人事部门申请补办。根据《劳动合同法》第五十条，用人单位在解除或终止劳动合同时需出具证明，若未出具，劳动者有权要求补办。此时需提供：

   • 身份证明（身份证、户口本等）；
     
   • 原劳动关系存续证据（如工作证、工资条、社保记录等）；
     
   • 改制相关文件（如政府批文、改制方案等，证明劳动关系因改制终止）。
     

2. 原单位已注销或拒不配合
   若原单位因改制注销或拒绝补办，您可向当地劳动行政部门（如人社局）申请协助。根据《劳动保障监察条例》第十一条，劳动行政部门有权督促用人单位出具解除证明。此时需准备：

   • 上述身份及劳动关系证据；
     
   • 改制文件及单位注销证明（如工商登记注销信息）；
     
   • 书面申请（说明情况及诉求）。
     

3. 通过劳动仲裁或诉讼解决
   若劳动行政部门协调无果，您可向劳动争议仲裁委员会申请仲裁，要求原单位或其上级主管部门出具证明。仲裁需提交：

   • 仲裁申请书（明确诉求及事实理由）；
     
   • 证据材料（同前）；
     
   • 改制相关法律文件（如《事业单位登记管理暂行条例》中关于改制的规定）。
     若仲裁败诉或对结果不满，可向法院提起诉讼，法院可依据《民法典》第五百七十七条（违约责任）或《劳动合同法》第八十九条（未出具证明的赔偿责任）判决单位履行义务。
     

注意事项：

• 补办证明的时效性：法律未明确规定补办期限，但建议尽快处理，避免影响后续就业或社保转移；
  
• 证明内容要求：需包含劳动合同期限、解除或终止日期、工作岗位等基本信息（《劳动合同法实施条例》第二十四条）；
  
• 替代方案：若无法补办原件，可要求单位出具书面说明并加盖公章，或通过社保记录、离职交接单等辅助证明劳动关系终止。
  

如有进一步疑问（如具体证据准备、仲裁流程等），可直接向我咨询，我会结合您的实际情况提供详细指导。