当劳动合同到期而公司却拖着不开离职证明时，这确实是一个需要妥善处理的问题，因为离职证明对于您后续办理失业登记、求职等手续都至关重要。以下是一套系统且条理清晰的应对策略，希望能帮助您有效维护自己的合法权益：
一、与公司协商沟通
首选方式：我建议您首先尝试与公司的人力资源部门或相关负责人进行友好沟通。在沟通过程中，您可以明确指出，根据《中华人民共和国劳动合同法》的规定，公司有义务在解除或终止劳动合同时出具离职证明。同时，您可以说明离职证明对于您新工作入职、社保转移等方面的重要性，以争取公司的理解和配合。
保持理性：在沟通过程中，请务必保持冷静和理性，避免情绪化冲突。通过平和的语气和合理的诉求，更有可能寻求到问题的快速解决。
二、向劳动行政部门投诉
如果公司拒绝开具离职证明，或者沟通无果，您可以向当地的劳动行政部门（如劳动监察大队）进行投诉。
准备证据：在投诉前，请收集好劳动合同、工资支付记录、工作证等相关证据，以证明您与公司的劳动关系及合同到期的事实。
提交投诉：向劳动行政部门提交书面投诉材料，详细说明情况，并明确要求其责令公司开具离职证明。
等待处理：劳动行政部门有权对公司进行监督检查，并会责令其限期改正。在此过程中，请保持联系方式畅通，以便及时接收处理结果。
三、申请劳动仲裁
如果劳动行政部门的处理结果未能令您满意，或者公司仍然拒绝开具离职证明，您可以向当地的劳动争议仲裁委员会申请仲裁。
完善证据链：在投诉的基础上，进一步收集考勤记录、工作邮件、沟通记录等补充证据，形成完整的证据链，以支持您的仲裁请求。
提交仲裁申请：向劳动争议仲裁委员会提交仲裁申请书，明确请求单位开具离职证明，并详细阐述事实和理由。
参与庭审：在仲裁庭审过程中，请清晰陈述案件事实，出示相关证据，并积极回应仲裁员的询问，以争取仲裁委的支持。
执行裁决：若仲裁裁决支持您的请求，而公司仍不履行，您可向法院申请强制执行，以确保自己的权益得到实现。
四、提起诉讼（如必要）
如果仲裁结果仍然不能令您满意，或者公司拒不执行仲裁裁决，您还可以向人民法院提起诉讼。
诉讼准备：在提起诉讼前，请整理好所有证据材料，撰写起诉状，明确诉讼请求和理由。
参与诉讼：在法院指定的时间和地点参与庭审，积极主张自己的权益，并出示相关证据支持自己的主张。
执行判决：若法院判决支持您的诉求，而公司仍不履行，您可申请法院强制执行，以确保判决得到有效执行。
五、注意事项
保留证据：在整个维权过程中，请务必妥善保管所有相关证据材料，如与公司沟通的录音、聊天记录、劳动合同、工资条、工作记录等。这些证据将在后续的投诉、仲裁或诉讼过程中发挥重要作用。
了解法律：熟悉相关法律法规，特别是《中华人民共和国劳动合同法》中关于离职证明的规定，以确保自己的行动合法合规。
及时咨询：如遇复杂问题或不确定如何操作，可及时咨询专业律师或法律援助机构，以获取专业的法律建议和帮助。
综上所述，面对公司拒不开具离职证明的情况，您应首先尝试与公司协商沟通；若协商无果，则依次向劳动行政部门投诉、申请劳动仲裁；必要时，可向人民法院提起诉讼。在整个过程中，请保持冷静理性，注重证据收集，以确保自己的合法权益得到有效维护。